Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Εισαγωγή στις Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις μας επιτρέπουν να βρούμε τη γωνία όταν γνωρίζουμε την τιμή μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης. Επειδή οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι ένα προς ένα σε όλο το πεδίο ορισμού τους, περιορίζουμε το πεδίο ορισμού για να ορίσουμε τις αντίστροφες.

Η Αντίστροφη Συνάρτηση του Ημιτόνου: $\arcsin x$ ή $\sin^{-1}x$

Ορισμός

Η συνάρτηση $y = \arcsin x$ είναι η αντίστροφη της $y = \sin x$ περιορισμένης στο διάστημα $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

$$y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \quad \text{με } -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$$

Χαρακτηριστικά

• Πεδίο ορισμού: $[-1, 1]$
• Σύνολο τιμών: $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
• Είναι περιττή: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$
• Γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού

Βασικές Τιμές

$$\arcsin 0 = 0$$

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$$

$$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$$

Η Αντίστροφη Συνάρτηση του Συνημιτόνου: $\arccos x$ ή $\cos^{-1}x$

Ορισμός

Η συνάρτηση $y = \arccos x$ είναι η αντίστροφη της $y = \cos x$ περιορισμένης στο διάστημα $[0, \pi]$.

$$y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \quad \text{με } 0 \leq y \leq \pi$$

Χαρακτηριστικά

• Πεδίο ορισμού: $[-1, 1]$
• Σύνολο τιμών: $[0, \pi]$
• Γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού

Βασικές Τιμές

$$\arccos 1 = 0$$

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

$$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

$$\arccos(-1) = \pi$$

Σημαντική Σχέση

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad \text{για } x \in [-1, 1]$$

Η Αντίστροφη Συνάρτηση της Εφαπτομένης: $\arctan x$ ή $\tan^{-1}x$

Ορισμός

Η συνάρτηση $y = \arctan x$ είναι η αντίστροφη της $y = \tan x$ περιορισμένης στο διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

$$y = \arctan x \Leftrightarrow \tan y = x, \quad \text{με } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Χαρακτηριστικά

• Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$ (όλοι οι πραγματικοί)
• Σύνολο τιμών: $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
• Είναι περιττή: $\arctan(-x) = -\arctan x$
• Γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού
• Οριζόντιες ασύμπτωτες: $y = \pm\frac{\pi}{2}$

Βασικές Τιμές

$$\arctan 0 = 0$$

$$\arctan \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$$

$$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$$

$$\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$$

Σημαντικά Όρια

$$\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$$

$$\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$$

Σύνθετες Ταυτότητες

Σχέσεις μεταξύ αντίστροφων συναρτήσεων

$$\arctan x + \text{arccot } x = \frac{\pi}{2}, \quad \text{για κάθε } x$$

$$\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \text{για κάθε } x$$

$$\arctan x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \text{για } x \geq 0$$

Αθροίσματα αντίστροφων εφαπτομένων

$$\arctan a + \arctan b = \arctan \frac{a + b}{1 - ab}, \quad \text{αν } ab < 1$$

Παράγωγοι Αντίστροφων Τριγωνομετρικών

Οι παράγωγοι είναι χρήσιμες στον λογισμό:

$$\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$$

Σημαντικές Παρατηρήσεις

Προσοχή με τη σημειογραφία: Η $\sin^{-1}x$ σημαίνει αντίστροφη συνάρτηση (arcsin), όχι $\frac{1}{\sin x}$.

Η κύρια τιμή: Οι αντίστροφες συναρτήσεις επιστρέφουν πάντα την κύρια τιμή (principal value), δηλαδή τη μοναδική τιμή στο περιορισμένο πεδίο τιμών.

Σύνθεση με τις αρχικές:

$$\sin(\arcsin x) = x, \quad \text{για } x \in [-1, 1]$$

$$\arcsin(\sin x) = x, \quad \text{μόνο αν } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$