Εφαρμογές Τριγωνομετρίας

Σε τρίγωνο $ABC$, δίνονται $A = 40°$, $B = 75°$ και $a = 12$ cm. Βρείτε τις πλευρές $b$ και $c$.

Βήμα 1: Βρίσκουμε την τρίτη γωνία:

$$C = 180° - A - B = 180° - 40° - 75° = 65°$$

Βήμα 2: Εφαρμόζουμε το νόμο ημιτόνων για το $b$:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$$\frac{12}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$$

$$b = \frac{12 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{12 \cdot 0.9659}{0.6428} \approx 18.03 \text{ cm}$$

Βήμα 3: Εφαρμόζουμε το νόμο ημιτόνων για το $c$:

$$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{12 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} = \frac{12 \cdot 0.9063}{0.6428} \approx 16.92 \text{ cm}$$

Σε τρίγωνο $ABC$, δίνονται $b = 7$, $c = 9$ και $A = 52°$. Βρείτε την πλευρά $a$.

Εφαρμόζουμε το νόμο συνημιτόνων:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

$$a^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 52°$$

$$a^2 = 49 + 81 - 126 \cdot 0.6157$$

$$a^2 = 130 - 77.58$$

$$a^2 = 52.42$$

$$a = \sqrt{52.42} \approx 7.24$$

Τρίγωνο έχει πλευρές $a = 8$, $b = 6$, $c = 10$. Βρείτε τη γωνία $C$.

Εφαρμόζουμε το νόμο συνημιτόνων λυμένο ως προς $\cos C$:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

$$\cos C = \frac{8^2 + 6^2 - 10^2}{2 \cdot 8 \cdot 6}$$

$$\cos C = \frac{64 + 36 - 100}{96}$$

$$\cos C = \frac{0}{96} = 0$$

$$C = 90°$$

Παρατήρηση: Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο! Πράγματι, $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ (Πυθαγόρειο θεώρημα).

Υπολογίστε το εμβαδόν τριγώνου με πλευρές $a = 5$, $b = 7$, $c = 8$.

Μέθοδος 1: Τύπος Ήρωνα

Υπολογίζουμε την ημιπερίμετρο:

$$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 7 + 8}{2} = 10$$

Εφαρμόζουμε τον τύπο του Ήρωνα:

$$E = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

$$E = \sqrt{10 \cdot (10-5) \cdot (10-7) \cdot (10-8)}$$

$$E = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}$$

$$E = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ τ.μ.}$$

Μέθοδος 2: Με τον τύπο $E = \frac{1}{2}ab\sin C$

Πρώτα βρίσκουμε τη γωνία $C$ με το νόμο συνημιτόνων:

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

$$\sin C = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

Άρα:

$$E = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$

Ένας παρατηρητής βλέπει την κορυφή ενός πύργου υπό γωνία ύψωσης $35°$. Αφού προχωρήσει $50$ μέτρα προς τον πύργο, η γωνία ύψωσης γίνεται $55°$. Βρείτε το ύψος του πύργου.

Έστω $h$ το ύψος του πύργου και $x$ η απόσταση του δεύτερου σημείου από τη βάση του πύργου.

Από το δεύτερο σημείο:

$$\tan 55° = \frac{h}{x}$$

$$h = x \tan 55°$$

Από το πρώτο σημείο: (απόσταση $x + 50$)

$$\tan 35° = \frac{h}{x + 50}$$

$$h = (x + 50) \tan 35°$$

Εξισώνοντας:

$$x \tan 55° = (x + 50) \tan 35°$$

$$x \cdot 1.428 = (x + 50) \cdot 0.700$$

$$1.428x = 0.700x + 35$$

$$0.728x = 35$$

$$x = 48.08 \text{ m}$$

Το ύψος:

$$h = x \tan 55° = 48.08 \cdot 1.428 \approx 68.66 \text{ m}$$