Δεσμευμένη Πιθανότητα

Εισαγωγή στη Δεσμευμένη Πιθανότητα

Η δεσμευμένη πιθανότητα εκφράζει την πιθανότητα ενός ενδεχομένου όταν γνωρίζουμε ότι έχει συμβεί κάποιο άλλο ενδεχόμενο. Αποτελεί θεμελιώδη έννοια για την κατανόηση σχέσεων μεταξύ ενδεχομένων και την ενημέρωση πιθανοτήτων με βάση νέα πληροφορία.

Ορισμός Δεσμευμένης Πιθανότητας

Η δεσμευμένη πιθανότητα του ενδεχομένου $A$ δεδομένου ότι έχει συμβεί το ενδεχόμενο $B$ (με $P(B) > 0$) ορίζεται:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Διαβάζεται: "Η πιθανότητα του $A$ υπό τη συνθήκη $B$" ή "η πιθανότητα του $A$ δεδομένου του $B$".

Διαισθητική Ερμηνεία

Όταν γνωρίζουμε ότι έχει συμβεί το $B$, ο δειγματικός χώρος περιορίζεται από τον $\Omega$ στο $B$. Η δεσμευμένη πιθανότητα $P(A|B)$ μετράει το ποσοστό του $B$ που ανήκει και στο $A$.

Ιδιότητες Δεσμευμένης Πιθανότητας

Η δεσμευμένη πιθανότητα ικανοποιεί τα αξιώματα του Kolmogorov:

1. $P(A|B) \geq 0$ για κάθε $A$
2. $P(B|B) = 1$
3. Αν $A_1 \cap A_2 = \emptyset$, τότε $P(A_1 \cup A_2|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B)$

Επιπλέον:

• $P(A'|B) = 1 - P(A|B)$
• $P(A \cup C|B) = P(A|B) + P(C|B) - P(A \cap C|B)$

Κανόνας Πολλαπλασιασμού

Από τον ορισμό προκύπτει:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

Για τρία ενδεχόμενα:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$$

Παράδειγμα 1: Διαδοχικές Επιλογές

Από κουτί με 4 κόκκινες και 6 μπλε σφαίρες τραβάμε διαδοχικά 2 σφαίρες χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα η πρώτη να είναι κόκκινη και η δεύτερη μπλε;

Λύση:

• Έστω $K_1$ = η πρώτη είναι κόκκινη, $Μ_2$ = η δεύτερη είναι μπλε
• $P(K_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
• $P(Μ_2|K_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (απομένουν 3 κόκκινες, 6 μπλε)
• $P(K_1 \cap Μ_2) = P(K_1) \cdot P(Μ_2|K_1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$

Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

Δύο ενδεχόμενα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν:

$$P(A|B) = P(A) \text{ ή ισοδύναμα } P(B|A) = P(B)$$

ή ισοδύναμα:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Προσοχή: Η ανεξαρτησία είναι διαφορετική από το να είναι τα ενδεχόμενα ασυμβίβαστα!

• Ασυμβίβαστα: $A \cap B = \emptyset$ (δεν μπορούν να συμβούν μαζί)
• Ανεξάρτητα: Η πληροφορία για το ένα δεν αλλάζει την πιθανότητα του άλλου

Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας

Έστω $B_1, B_2, ..., B_n$ μια διαμέριση του $\Omega$ (ξένα ανά δύο με $\bigcup_{i=1}^{n} B_i = \Omega$) με $P(B_i) > 0$. Τότε για κάθε ενδεχόμενο $A$:

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

Παράδειγμα 2: Παραγωγή Εργοστασίου

Τρεις γραμμές παραγωγής παράγουν το 40%, 35% και 25% της συνολικής παραγωγής. Τα ποσοστά ελαττωματικών είναι 2%, 3% και 5% αντίστοιχα. Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο προϊόν να είναι ελαττωματικό;

Λύση:

• $P(Γ_1) = 0.40$, $P(Γ_2) = 0.35$, $P(Γ_3) = 0.25$
• $P(E|Γ_1) = 0.02$, $P(E|Γ_2) = 0.03$, $P(E|Γ_3) = 0.05$
• $P(E) = 0.40 \cdot 0.02 + 0.35 \cdot 0.03 + 0.25 \cdot 0.05$
• $P(E) = 0.008 + 0.0105 + 0.0125 = 0.031 = 3.1\%$

Θεώρημα Bayes (Bayes' Theorem)

Το θεώρημα του Bayes μας επιτρέπει να "αντιστρέψουμε" τη δεσμευμένη πιθανότητα:

$$P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j) \cdot P(B_j)}{P(A)} = \frac{P(A|B_j) \cdot P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)}$$

Ερμηνεία Bayes

• $P(B_j)$: Εκ των προτέρων (prior) πιθανότητα του $B_j$
• $P(A|B_j)$: Πιθανοφάνεια (likelihood) - πόσο πιθανό είναι να παρατηρήσουμε το $A$ αν ισχύει το $B_j$
• $P(B_j|A)$: Εκ των υστέρων (posterior) πιθανότητα - η ενημερωμένη πιθανότητα μετά την παρατήρηση του $A$

Παράδειγμα 3: Διαγνωστική Εξέταση

Μια νόσος εμφανίζεται στο 1% του πληθυσμού. Ένα διαγνωστικό τεστ έχει:

• Ευαισθησία 95%: $P(+|\text{νόσος}) = 0.95$
• Ειδικότητα 90%: $P(-|\text{υγιής}) = 0.90$

Αν κάποιος βγει θετικός, ποια η πιθανότητα να έχει τη νόσο;

Λύση:

• $P(Ν) = 0.01$, $P(Υ) = 0.99$
• $P(+|Ν) = 0.95$, $P(+|Υ) = 1 - 0.90 = 0.10$

Υπολογίζουμε $P(+)$:

$$P(+) = P(+|Ν) \cdot P(Ν) + P(+|Υ) \cdot P(Υ)$$

$$P(+) = 0.95 \cdot 0.01 + 0.10 \cdot 0.99 = 0.0095 + 0.099 = 0.1085$$

Εφαρμόζουμε Bayes:

$$P(Ν|+) = \frac{P(+|Ν) \cdot P(Ν)}{P(+)} = \frac{0.95 \cdot 0.01}{0.1085} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876$$

Δηλαδή, μόνο περίπου 8.76% των θετικών έχουν πραγματικά τη νόσο! Αυτό είναι το περίφημο "παράδοξο του ψευδώς θετικού".

Παράδειγμα 4: Αντίστροφο Πρόβλημα Εργοστασίου

Στο παράδειγμα 2, αν ένα προϊόν βρεθεί ελαττωματικό, ποια η πιθανότητα να προέρχεται από τη γραμμή 3;

Λύση:

$$P(Γ_3|E) = \frac{P(E|Γ_3) \cdot P(Γ_3)}{P(E)} = \frac{0.05 \cdot 0.25}{0.031} = \frac{0.0125}{0.031} \approx 0.403$$

Άρα περίπου 40.3% των ελαττωματικών προέρχονται από τη γραμμή 3.

Διαδοχική Εφαρμογή Bayes

Το θεώρημα Bayes μπορεί να εφαρμοστεί διαδοχικά καθώς λαμβάνουμε νέες πληροφορίες:

$$P(B|A_1 \cap A_2) \propto P(A_2|B) \cdot P(A_1|B) \cdot P(B)$$

Παράδειγμα 5: Ρίψεις Νομίσματος

Έχουμε δύο νομίσματα: ένα κανονικό ($P(K) = 0.5$) και ένα με βάρος ($P(K) = 0.8$). Επιλέγουμε τυχαία ένα νόμισμα και το ρίχνουμε. Φέρνουμε κορώνα. Ποια η πιθανότητα να επιλέξαμε το νόμισμα με βάρος;

Λύση:

• $P(Β) = P(Κανονικό) = 0.5$
• $P(K|Β) = 0.8$, $P(K|Κανονικό) = 0.5$
• $P(K) = 0.8 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot 0.5 = 0.4 + 0.25 = 0.65$
• $P(Β|K) = \frac{0.8 \cdot 0.5}{0.65} = \frac{0.4}{0.65} \approx 0.615$

Η παρατήρηση κορώνας αύξησε την πιθανότητα να έχουμε το νόμισμα με βάρος από 50% σε ~61.5%.