Κανόνες Πιθανοτήτων

Εισαγωγή στους Κανόνες Πιθανοτήτων

Οι κανόνες πιθανοτήτων μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε πιθανότητες σύνθετων ενδεχομένων με βάση τις πιθανότητες απλούστερων ενδεχομένων. Οι δύο θεμελιώδεις κανόνες είναι ο κανόνας πρόσθεσης και ο κανόνας πολλαπλασιασμού.

Κανόνας Πρόσθεσης (Addition Rule)

Γενική Μορφή

Για οποιαδήποτε δύο ενδεχόμενα $A$ και $B$:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Αυτός ο τύπος είναι γνωστός και ως αρχή της έγκλεισης-αποκλεισμού (inclusion-exclusion principle).

Ειδική Περίπτωση: Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα

Αν τα $A$ και $B$ είναι ασυμβίβαστα ($A \cap B = \emptyset$), τότε:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Γενίκευση για τρία ενδεχόμενα

Για τρία ενδεχόμενα $A$, $B$, $C$:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

Παραδείγματα Κανόνα Πρόσθεσης

Παράδειγμα 1: Σε μια τάξη 30 μαθητών, 18 παίζουν ποδόσφαιρο, 12 παίζουν μπάσκετ και 6 παίζουν και τα δύο. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή, ποια η πιθανότητα να παίζει τουλάχιστον ένα από τα δύο αθλήματα;

Λύση:

• $P(Π) = \frac{18}{30}$, $P(Μ) = \frac{12}{30}$, $P(Π \cap Μ) = \frac{6}{30}$
• $P(Π \cup Μ) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{6}{30} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

Παράδειγμα 2: Ρίχνουμε ένα ζάρι. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε 1 ή 6;

Λύση:

• $A = \{1\}$, $B = \{6\}$ είναι ασυμβίβαστα
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Κανόνας Πολλαπλασιασμού (Multiplication Rule)

Γενική Μορφή

Για οποιαδήποτε δύο ενδεχόμενα $A$ και $B$:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$

όπου $P(B|A)$ είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του $B$ δεδομένου του $A$.

Ειδική Περίπτωση: Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα

Δύο ενδεχόμενα $A$ και $B$ λέγονται ανεξάρτητα αν η πραγματοποίηση του ενός δεν επηρεάζει την πιθανότητα του άλλου:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Ισοδύναμα: $P(B|A) = P(B)$ και $P(A|B) = P(A)$

Γενίκευση για πολλά ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Αν τα $A_1, A_2, ..., A_n$ είναι ανεξάρτητα:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot ... \cdot P(A_n)$$

Παραδείγματα Κανόνα Πολλαπλασιασμού

Παράδειγμα 3: Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε τρεις κορώνες;

Λύση:

• Οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες
• $P(K_1 \cap K_2 \cap K_3) = P(K_1) \cdot P(K_2) \cdot P(K_3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Παράδειγμα 4: Από κάλπη με 5 λευκές και 3 μαύρες σφαίρες, τραβάμε διαδοχικά 2 σφαίρες χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα και οι δύο να είναι λευκές;

Λύση:

• $P(Λ_1) = \frac{5}{8}$
• $P(Λ_2|Λ_1) = \frac{4}{7}$ (μετά την αφαίρεση μιας λευκής)
• $P(Λ_1 \cap Λ_2) = P(Λ_1) \cdot P(Λ_2|Λ_1) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

Κανόνας Συμπληρώματος

Για κάθε ενδεχόμενο $A$:

$$P(A') = 1 - P(A)$$

Αυτός ο κανόνας είναι ιδιαίτερα χρήσιμος όταν είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα του συμπληρώματος.

Παράδειγμα 5: Ρίχνουμε ένα ζάρι 4 φορές. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε τουλάχιστον ένα 6;

Λύση:

• Είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε το συμπλήρωμα: να ΜΗΝ φέρουμε κανένα 6
• $P(\text{όχι 6 σε μία ρίψη}) = \frac{5}{6}$
• $P(\text{κανένα 6 σε 4 ρίψεις}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$
• $P(\text{τουλάχιστον ένα 6}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0.518$

Ολική Πιθανότητα (Total Probability)

Αν τα $B_1, B_2, ..., B_n$ αποτελούν διαμέριση του $\Omega$ (δηλαδή είναι ξένα ανά δύο και η ένωσή τους είναι ο $\Omega$), τότε για κάθε ενδεχόμενο $A$:

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

Παράδειγμα 6: Ένα εργοστάσιο έχει 3 μηχανές που παράγουν το 50%, 30% και 20% της παραγωγής αντίστοιχα. Τα ποσοστά ελαττωματικών προϊόντων είναι 1%, 2% και 3% αντίστοιχα. Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο προϊόν να είναι ελαττωματικό;

Λύση:

• $P(M_1) = 0.50$, $P(M_2) = 0.30$, $P(M_3) = 0.20$
• $P(E|M_1) = 0.01$, $P(E|M_2) = 0.02$, $P(E|M_3) = 0.03$
• $P(E) = 0.50 \cdot 0.01 + 0.30 \cdot 0.02 + 0.20 \cdot 0.03$
• $P(E) = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017 = 1.7\%$

Νόμοι του De Morgan στις Πιθανότητες

Οι νόμοι του De Morgan για σύνολα έχουν εφαρμογή και στις πιθανότητες:

$$(A \cup B)' = A' \cap B'$$

$$(A \cap B)' = A' \cup B'$$

Άρα:

• $P((A \cup B)') = P(A' \cap B')$
• $P((A \cap B)') = P(A' \cup B')$

Παράδειγμα 7: Αν $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ και τα $A$, $B$ είναι ανεξάρτητα, να βρεθεί η $P(A' \cap B')$.

Λύση:

• $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$ (De Morgan)
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.5 - 0.4 \cdot 0.5 = 0.7$
• $P(A' \cap B') = 1 - 0.7 = 0.3$

Εναλλακτικά, αφού τα $A$, $B$ ανεξάρτητα, τα $A'$, $B'$ είναι επίσης ανεξάρτητα:

• $P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B') = 0.6 \cdot 0.5 = 0.3$