Ενέργεια στην Ταλάντωση

Ενέργεια στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Στην απλή αρμονική ταλάντωση, η ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς μεταξύ κινητικής και δυναμικής μορφής, ενώ η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή.

Κινητική Ενέργεια

Η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή δίνεται από:

$$K = \frac{1}{2}mv^2$$

Από την εξίσωση της ταχύτητας $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$:

$$K = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi)$$

Χρησιμοποιώντας τη σχέση $v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$:

$$K = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$$

Δυναμική Ενέργεια

Για το σύστημα ελατηρίου-μάζας, η ελαστική δυναμική ενέργεια είναι:

$$U = \frac{1}{2}kx^2$$

Από την εξίσωση της θέσης $x = A\cos(\omega t + \varphi)$:

$$U = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi)$$

Ολική Μηχανική Ενέργεια

Η ολική μηχανική ενέργεια είναι το άθροισμα:

$$E = K + U = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2) + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

Άρα:

$$E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \text{σταθερή}$$

Η ολική ενέργεια εξαρτάται μόνο από το πλάτος και είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους.

Κατανομή της Ενέργειας

Στη θέση ισορροπίας ($x = 0$):

• $K_{max} = \frac{1}{2}kA^2 = E$
• $U_{min} = 0$

Στα ακραία σημεία ($x = \pm A$):

• $K_{min} = 0$
• $U_{max} = \frac{1}{2}kA^2 = E$

Ισοκατανομή Ενέργειας

Σε ποια θέση $K = U$;

Από $\frac{1}{2}k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}kx^2$ προκύπτει:

$$A^2 - x^2 = x^2 \Rightarrow x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}}$$

Σε αυτή τη θέση: $K = U = \frac{E}{2} = \frac{1}{4}kA^2$

Μέσες Τιμές Ενέργειας

Οι μέσες τιμές σε μια περίοδο είναι:

$$\langle K \rangle = \langle U \rangle = \frac{E}{2} = \frac{1}{4}kA^2$$

Αυτό προκύπτει από τη μέση τιμή του $\sin^2$ και $\cos^2$ που ισούται με $\frac{1}{2}$.

Σχέση Ενέργειας και Πλάτους

Από τη σχέση $E = \frac{1}{2}kA^2$ προκύπτει:

$$A = \sqrt{\frac{2E}{k}}$$

Επίσης, η μέγιστη ταχύτητα σχετίζεται με την ενέργεια:

$$v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = A\omega$$

Διάγραμμα Ενέργειας-Θέσης

Στο διάγραμμα $E$ - $x$:

• Η $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ είναι παραβολή με κορυφή στο $x = 0$
• Η ολική $E$ είναι οριζόντια ευθεία
• Η $K(x)$ είναι ανεστραμμένη παραβολή
• Οι τομές της $E$ με την $U$ δίνουν τα σημεία επιστροφής ($x = \pm A$)

Ενέργεια στο Εκκρεμές

Για το απλό εκκρεμές:

$$U = mgl(1 - \cos\theta) \approx \frac{1}{2}mgl\theta^2$$ (μικρές γωνίες)

$$E = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl(1 - \cos\theta) = mgl(1 - \cos\theta_0)$$

όπου $\theta_0$ είναι η μέγιστη γωνιακή απομάκρυνση.