Ταλάντωση Ελατηρίου

Το Σύστημα Μάζας-Ελατηρίου

Η ταλάντωση ελατηρίου αποτελεί το κλασικό παράδειγμα απλής αρμονικής ταλάντωσης. Ένα σώμα μάζας $m$ συνδεδεμένο με ιδανικό ελατήριο σταθεράς $k$ εκτελεί Α.Α.Τ. όταν απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας του.

Νόμος του Hooke

Ο νόμος του Hooke περιγράφει τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο:

$$F = -k\Delta l$$

όπου $\Delta l$ είναι η παραμόρφωση (επιμήκυνση ή συμπίεση) του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος.

Για ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο, αν θέσουμε $x = 0$ στη θέση ισορροπίας:

$$F = -kx$$

Περίοδος Ταλάντωσης

Η περίοδος της ταλάντωσης ελατηρίου δίνεται από τη σχέση:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Σημαντικές παρατηρήσεις:

• Η περίοδος εξαρτάται μόνο από τη μάζα και τη σταθερά του ελατηρίου
• Η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης
• Μεγαλύτερη μάζα σημαίνει μεγαλύτερη περίοδο
• Πιο σκληρό ελατήριο (μεγαλύτερο $k$) σημαίνει μικρότερη περίοδο

Κατακόρυφη Ταλάντωση

Για ελατήριο που κρέμεται κατακόρυφα με σώμα μάζας $m$:

1. Θέση φυσικού μήκους: Το ελατήριο χωρίς φορτίο
2. Θέση ισορροπίας: Το ελατήριο επιμηκύνεται κατά $\Delta l_0 = \frac{mg}{k}$
3. Ταλάντωση: Γίνεται γύρω από τη θέση ισορροπίας

Η περίοδος παραμένει:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}$$

Ελατήρια σε Σειρά και Παράλληλα

Ελατήρια σε σειρά:

$$\frac{1}{k_{ολ}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$$

Η ισοδύναμη σταθερά είναι μικρότερη από τη μικρότερη επιμέρους.

Ελατήρια παράλληλα:

$$k_{ολ} = k_1 + k_2$$

Η ισοδύναμη σταθερά είναι το άθροισμα.

Ενέργεια στο Σύστημα Μάζας-Ελατηρίου

Η ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου:

$$U = \frac{1}{2}kx^2$$

Η κινητική ενέργεια του σώματος:

$$K = \frac{1}{2}mv^2$$

Η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται:

$$E = K + U = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$

Ιδανικό vs Πραγματικό Ελατήριο

Το ιδανικό ελατήριο θεωρείται:

• Αμελητέας μάζας
• Χωρίς εσωτερική τριβή
• Ακολουθεί τέλεια τον νόμο του Hooke

Στην πράξη, η μάζα του ελατηρίου συνεισφέρει περίπου κατά το 1/3 στην ενεργό μάζα.