Διατήρηση Ενέργειας

Εισαγωγή στη Διατήρηση της Ενέργειας

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας είναι ένας από τους θεμελιώδεις νόμους της Φυσικής. Δηλώνει ότι η ενέργεια δεν δημιουργείται ούτε καταστρέφεται, αλλά μόνο μετατρέπεται από μια μορφή σε άλλη.

Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας

Θεώρημα: Σε ένα σύστημα όπου δρουν μόνο συντηρητικές δυνάμεις, η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή:

$$E_{αρχ} = E_{τελ}$$

ή ισοδύναμα:

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

Αναλυτική Μορφή

Για σώμα σε βαρυτικό πεδίο:

$$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$$

Για σύστημα με ελατήριο:

$$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}kx_2^2$$

Συντηρητικές Δυνάμεις

Οι συντηρητικές δυνάμεις είναι αυτές για τις οποίες το έργο τους είναι ανεξάρτητο της διαδρομής:

• Βαρυτική δύναμη
• Ελαστική δύναμη (ελατηρίου)
• Ηλεκτροστατική δύναμη

Ιδιότητα: Το έργο μιας συντηρητικής δύναμης σε κλειστή διαδρομή είναι μηδέν.

Μη Συντηρητικές Δυνάμεις

Όταν υπάρχουν και μη συντηρητικές δυνάμεις (π.χ. τριβή, αντίσταση αέρα):

$$E_{τελ} = E_{αρχ} + W_{μη\ συντ}$$

ή:

$$\Delta E = W_{μη\ συντ}$$

Επειδή συνήθως $W_{τριβής} < 0$, η μηχανική ενέργεια μειώνεται.

Γενική Αρχή Διατήρησης Ενέργειας

Σε κλειστό σύστημα, η ολική ενέργεια (που περιλαμβάνει και θερμότητα, ηχητική ενέργεια κ.λπ.) διατηρείται:

$$E_{ολική} = K + U + E_{θερμ} + ... = σταθερό$$

Η ενέργεια που "χάνεται" λόγω τριβής μετατρέπεται σε θερμότητα:

$$Q = |W_{τριβής}| = \mu N d$$

Εφαρμογές της Διατήρησης Ενέργειας

Ελεύθερη Πτώση

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$$

Βολή προς τα Πάνω

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_{max} \Rightarrow h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$$

Απλή Αρμονική Ταλάντωση

$$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \Rightarrow v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Απλό Εκκρεμές

$$mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv_{κάτω}^2 \Rightarrow v_{κάτω} = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta_0)}$$

Ταχύτητα Διαφυγής

Η ελάχιστη ταχύτητα για να διαφύγει ένα σώμα από το βαρυτικό πεδίο της Γης:

$$v_{διαφ} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR} \approx 11.2 \, \text{km/s}$$