Χρόνος Ημιζωής

Εισαγωγή στον Χρόνο Ημιζωής

Ο χρόνος ημιζωής ($T_{1/2}$) είναι ο χρόνος που απαιτείται για να διασπαστεί το μισό ενός δείγματος ραδιενεργών πυρήνων. Είναι μια χαρακτηριστική σταθερά για κάθε ραδιενεργό ισότοπο και δεν επηρεάζεται από εξωτερικές συνθήκες όπως θερμοκρασία, πίεση ή χημική κατάσταση.

Ορισμός

Μετά από χρόνο $t = T_{1/2}$, ο αριθμός των πυρήνων γίνεται:

$$N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$$

Μετά από $n$ χρόνους ημιζωής ($t = n \cdot T_{1/2}$):

$$N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{N_0}{2^n}$$

Σχέση με τη Σταθερά Διάσπασης

Ο χρόνος ημιζωής συνδέεται με τη σταθερά διάσπασης $\lambda$ μέσω της σχέσης:

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0,693}{\lambda}$$

Απόδειξη

Από τον νόμο διάσπασης $N = N_0 e^{-\lambda t}$, για $N = \frac{N_0}{2}$:

$$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$$

$$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$$

$$\ln\frac{1}{2} = -\lambda T_{1/2}$$

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Μέση Διάρκεια Ζωής

Η μέση διάρκεια ζωής ($\tau$) ενός ραδιενεργού πυρήνα είναι:

$$\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = 1,443 \cdot T_{1/2}$$

Είναι ο μέσος χρόνος που ζει ένας πυρήνας πριν διασπαστεί.

Εύρος Τιμών

Οι χρόνοι ημιζωής ποικίλλουν εξαιρετικά:

Γραφική Παράσταση

Η εκθετική μείωση του αριθμού πυρήνων φαίνεται στο διάγραμμα $N$ - $t$:

• Στο $t = 0$: $N = N_0$
• Στο $t = T_{1/2}$: $N = \frac{N_0}{2}$
• Στο $t = 2T_{1/2}$: $N = \frac{N_0}{4}$
• Στο $t = 3T_{1/2}$: $N = \frac{N_0}{8}$
• κ.ο.κ.

Η καμπύλη είναι ασυμπτωτική στον άξονα $t$.

Χρήσιμες Σχέσεις

Αριθμός Πυρήνων

$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$

Ενεργότητα

$$A(t) = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$$

Αριθμός Διασπάσεων

Ο αριθμός πυρήνων που έχουν διασπαστεί μέχρι τη στιγμή $t$:

$$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 \left(1 - e^{-\lambda t}\right)$$

Εφαρμογές

Ραδιοχρονολόγηση

Η μέθοδος $^{14}C$ χρησιμοποιείται για τη χρονολόγηση οργανικών υλικών μέχρι ~50.000 έτη:

$$t = T_{1/2} \cdot \frac{\ln(N_0/N)}{\ln 2} = \frac{1}{\lambda} \ln\frac{N_0}{N}$$

Ιατρικές Εφαρμογές

Για διαγνωστικές εξετάσεις επιλέγονται ισότοπα με μικρό $T_{1/2}$:

• $^{99m}Tc$: $T_{1/2} = 6$ ώρες
• $^{131}I$: $T_{1/2} = 8$ ημέρες
• $^{18}F$: $T_{1/2} = 110$ λεπτά

Αποθήκευση Ραδιενεργών Αποβλήτων

Μετά από $10 \cdot T_{1/2}$, η ενεργότητα μειώνεται κατά παράγοντα $2^{10} = 1024$, δηλαδή μένει λιγότερο από $0,1\%$.

Διαδοχικές Διασπάσεις

Όταν ο θυγατρικός πυρήνας είναι επίσης ραδιενεργός, έχουμε αλυσίδα διασπάσεων:

$$A \xrightarrow{\lambda_1} B \xrightarrow{\lambda_2} C \xrightarrow{\lambda_3} ...$$

Η ανάλυση απαιτεί επίλυση συστήματος διαφορικών εξισώσεων.

Ισορροπία

Σε μόνιμη ισορροπία (secular equilibrium), αν $T_{1/2,A} \gg T_{1/2,B}$:

$$A_A = A_B \Rightarrow \lambda_A N_A = \lambda_B N_B$$