Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων

Εισαγωγή στα Γραμμικά Συστήματα

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων αποτελείται από δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις με τους ίδιους αγνώστους. Η γενική μορφή ενός συστήματος 2x2 είναι:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

όπου $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $x$, $y$ οι άγνωστοι.

Τύποι Συστημάτων

1. Ορισμένο Σύστημα

Έχει μία μοναδική λύση (ένα ζεύγος τιμών $(x, y)$). Γραφικά, οι δύο ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο.

2. Αόριστο Σύστημα

Έχει άπειρες λύσεις. Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες (περιγράφουν την ίδια ευθεία).

3. Αδύνατο Σύστημα

Δεν έχει λύση. Γραφικά, οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Μέθοδοι Επίλυσης

Μέθοδος 1: Αντικατάστασης

Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.

Παράδειγμα 1: Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 11 \end{cases}$$

Λύση:

Από την πρώτη εξίσωση: $x = 7 - 2y$

Αντικατάσταση στη δεύτερη:

$$3(7 - 2y) - y = 11$$

$$21 - 6y - y = 11$$

$$-7y = -10$$

$$y = \frac{10}{7}$$

Άρα: $x = 7 - 2 \cdot \frac{10}{7} = 7 - \frac{20}{7} = \frac{49 - 20}{7} = \frac{29}{7}$

Λύση: $\left(\frac{29}{7}, \frac{10}{7}\right)$

Μέθοδος 2: Απαλοιφής (Πρόσθεσης-Αφαίρεσης)

Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί ένας άγνωστος όταν τις προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε.

Παράδειγμα 2: Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$$

Λύση:

Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις (απαλοιφή του $y$):

$$2x + 3y + 4x - 3y = 12 + 6$$

$$6x = 18$$

$$x = 3$$

Αντικατάσταση στην πρώτη:

$$2(3) + 3y = 12$$

$$6 + 3y = 12$$

$$y = 2$$

Λύση: $(3, 2)$

Παράδειγμα 3: Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 19 \\ 5x + 3y = 30 \end{cases}$$

Λύση:

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη επί $3$ και τη δεύτερη επί $(-2)$:

$$\begin{cases} 9x + 6y = 57 \\ -10x - 6y = -60 \end{cases}$$

Προσθέτουμε:

$$-x = -3 \Rightarrow x = 3$$

Αντικατάσταση: $3(3) + 2y = 19 \Rightarrow y = 5$

Λύση: $(3, 5)$

Μέθοδος 3: Κανόνας του Cramer (Ορίζουσες)

Για το σύστημα $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Ορίζουμε τις ορίζουσες:

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$$

$$D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1$$

$$D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1$$

Αν $D \neq 0$, οι λύσεις είναι:

$$x = \frac{D_x}{D} \quad \text{και} \quad y = \frac{D_y}{D}$$

Παράδειγμα 4: Να λυθεί με τον κανόνα Cramer:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Λύση:

$$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(3) = -2 - 3 = -5$$

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 8(-1) - 1(3) = -8 - 3 = -11$$

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 1(8) = 2 - 8 = -6$$

$$x = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} \quad \text{και} \quad y = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}$$

Λύση: $\left(\frac{11}{5}, \frac{6}{5}\right)$

Ειδικές Περιπτώσεις

Αδύνατο Σύστημα

Παράδειγμα 5:

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 7 \end{cases}$$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη επί $2$: $2x + 4y = 10$

Συγκρίνουμε με τη δεύτερη: $2x + 4y = 7$

$10 \neq 7$, άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

(Με Cramer: $D = 0$, $D_x \neq 0$ ή $D_y \neq 0$)

Αόριστο Σύστημα

Παράδειγμα 6:

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}$$

Η δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσια της πρώτης, άρα είναι αόριστο με άπειρες λύσεις.

(Με Cramer: $D = D_x = D_y = 0$)

Σύστημα 3x3

Παράδειγμα 7: Να λυθεί:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$$

Λύση:

Προσθέτουμε την 1η με την 3η: $2x + 3y = 9$ ... (α)

Προσθέτουμε την 2η με την 3η: $3x + y = 6$ ... (β)

Από (β): $y = 6 - 3x$

Αντικατάσταση στην (α): $2x + 3(6-3x) = 9$

$$2x + 18 - 9x = 9 \Rightarrow -7x = -9 \Rightarrow x = \frac{9}{7}$$

$y = 6 - 3 \cdot \frac{9}{7} = \frac{42 - 27}{7} = \frac{15}{7}$

Από την 1η: $z = 6 - x - y = 6 - \frac{9}{7} - \frac{15}{7} = \frac{42 - 9 - 15}{7} = \frac{18}{7}$

Λύση: $\left(\frac{9}{7}, \frac{15}{7}, \frac{18}{7}\right)$

Γραφική Ερμηνεία

Κάθε γραμμική εξίσωση αντιπροσωπεύει μια ευθεία στο επίπεδο:

• Μία λύση: οι ευθείες τέμνονται
• Άπειρες λύσεις: οι ευθείες ταυτίζονται
• Καμία λύση: οι ευθείες είναι παράλληλες

Συμβουλές Επίλυσης

1. Η αντικατάσταση είναι ιδανική όταν ένας συντελεστής είναι $1$ ή $-1$
2. Η απαλοιφή είναι καλύτερη για συντελεστές που είναι πολλαπλάσια
3. Ο Cramer είναι συστηματικός αλλά απαιτεί υπολογισμούς
4. Πάντα κάντε επαλήθευση και στις δύο εξισώσεις