Ορισμός Ορίου Συνάρτησης

Εισαγωγή στην Έννοια του Ορίου

Το όριο είναι μία από τις θεμελιώδεις έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. Περιγράφει τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης καθώς η ανεξάρτητη μεταβλητή πλησιάζει μια συγκεκριμένη τιμή.

Διαισθητική Κατανόηση

Όταν λέμε ότι το όριο της $f(x)$ καθώς το $x$ τείνει στο $a$ είναι $L$, εννοούμε ότι οι τιμές της $f(x)$ πλησιάζουν όσο θέλουμε κοντά στο $L$, αρκεί να πάρουμε το $x$ αρκετά κοντά (αλλά όχι ίσο) στο $a$.

Συμβολικά γράφουμε:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

Αυστηρός Ορισμός (ε-δ)

Ο αυστηρός ορισμός του ορίου, γνωστός ως ορισμός Cauchy ή ορισμός ε-δ (έψιλον-δέλτα), διατυπώνεται ως εξής:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε:

$$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

Ανάλυση του Ορισμού

• Το $\varepsilon$ (έψιλον) αντιπροσωπεύει την ανοχή στις τιμές της συνάρτησης
• Το $\delta$ (δέλτα) αντιπροσωπεύει την απόσταση του $x$ από το $a$
• Η συνθήκη $0 < |x - a|$ σημαίνει ότι το $x \neq a$
• Η συνθήκη $|x - a| < \delta$ σημαίνει ότι το $x$ βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη του $\delta$ από το $a$
• Η συνθήκη $|f(x) - L| < \varepsilon$ σημαίνει ότι η $f(x)$ βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη του $\varepsilon$ από το $L$

Πλευρικά Όρια

Αριστερό Όριο

Το αριστερό όριο της $f$ στο $a$ είναι:

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$$

αν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε:

$$a - \delta < x < a \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

Δεξί Όριο

Το δεξί όριο της $f$ στο $a$ είναι:

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

αν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε:

$$a < x < a + \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

Σχέση Πλευρικών και Κύριου Ορίου

Το όριο $\lim_{x \to a} f(x) = L$ υπάρχει αν και μόνο αν:

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

Όρια στο Άπειρο

Όριο καθώς $x \to +\infty$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$

αν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $M > 0$ ώστε:

$$x > M \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

Όριο καθώς $x \to -\infty$

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$

αν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $M > 0$ ώστε:

$$x < -M \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

Άπειρα Όρια

Όταν η συνάρτηση αυξάνεται απεριόριστα:

$$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$$

αν για κάθε $K > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε:

$$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > K$$

Αντίστοιχα για $-\infty$:

$$\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$$

αν για κάθε $K > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε:

$$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) < -K$$

Μοναδικότητα του Ορίου

Θεώρημα: Αν το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει, τότε είναι μοναδικό.

Απόδειξη: Έστω ότι $\lim_{x \to a} f(x) = L_1$ και $\lim_{x \to a} f(x) = L_2$ με $L_1 \neq L_2$.

Θέτουμε $\varepsilon = \frac{|L_1 - L_2|}{2} > 0$.

Από τον ορισμό υπάρχουν $\delta_1, \delta_2 > 0$ ώστε:

• $0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - L_1| < \varepsilon$
• $0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - L_2| < \varepsilon$

Για $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ και $0 < |x - a| < \delta$:

$$|L_1 - L_2| = |L_1 - f(x) + f(x) - L_2| \leq |f(x) - L_1| + |f(x) - L_2| < 2\varepsilon = |L_1 - L_2|$$

Άτοπο! Άρα $L_1 = L_2$.