Συνέχεια Συναρτήσεων

Ορισμός Συνέχειας

Η έννοια της συνέχειας είναι θεμελιώδης στη Μαθηματική Ανάλυση. Διαισθητικά, μια συνάρτηση είναι συνεχής αν μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση χωρίς να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

Ορισμός με Όρια

Μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο σημείο $a$ αν και μόνο αν πληρούνται οι τρεις συνθήκες:

1. Η $f(a)$ υπάρχει (η $f$ ορίζεται στο $a$)
2. Το $\lim_{x \to a} f(x)$ υπάρχει
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Συμβολικά:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Ορισμός ε-δ

Η $f$ είναι συνεχής στο $a$ αν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε:

$$|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon$$

Πλευρική Συνέχεια

Συνέχεια από αριστερά

Η $f$ είναι συνεχής από αριστερά στο $a$ αν:

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$$

Συνέχεια από δεξιά

Η $f$ είναι συνεχής από δεξιά στο $a$ αν:

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$$

Σχέση

Η $f$ είναι συνεχής στο $a$ αν και μόνο αν είναι συνεχής και από αριστερά και από δεξιά στο $a$.

Συνέχεια σε Διάστημα

• Η $f$ είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα $(a, b)$ αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του.
• Η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[a, b]$ αν:
  • Είναι συνεχής στο $(a, b)$
  • Είναι συνεχής από δεξιά στο $a$
  • Είναι συνεχής από αριστερά στο $b$

Τύποι Ασυνέχειας

1. Αφαιρέσιμη Ασυνέχεια (Removable Discontinuity)

Υπάρχει το $\lim_{x \to a} f(x) = L$ αλλά:

• Η $f(a)$ δεν ορίζεται, ή
• $f(a) \neq L$

Λέγεται αφαιρέσιμη γιατί μπορούμε να ορίσουμε $f(a) = L$ και η συνάρτηση γίνεται συνεχής.

2. Ασυνέχεια Άλματος (Jump Discontinuity)

Τα πλευρικά όρια υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικά:

$$\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$$

Το άλμα της ασυνέχειας είναι:

$$\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$$

3. Ουσιώδης Ασυνέχεια (Essential Discontinuity)

Ένα ή και τα δύο πλευρικά όρια δεν υπάρχουν ή είναι άπειρα. Παραδείγματα:

• $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (άπειρη ασυνέχεια)
• Ταλαντευόμενη συμπεριφορά (π.χ. $\sin\frac{1}{x}$ στο $0$)

Ιδιότητες Συνεχών Συναρτήσεων

Αν οι $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $a$, τότε:

1. Άθροισμα/Διαφορά: $f \pm g$ είναι συνεχής στο $a$
2. Γινόμενο: $f \cdot g$ είναι συνεχής στο $a$
3. Πηλίκο: $\frac{f}{g}$ είναι συνεχής στο $a$ (αν $g(a) \neq 0$)
4. Σύνθεση: Αν $f$ συνεχής στο $a$ και $g$ συνεχής στο $f(a)$, τότε $g \circ f$ συνεχής στο $a$

Βασικές Συνεχείς Συναρτήσεις

Οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους:

• Πολυώνυμα: $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$
• Ρητές: $\frac{p(x)}{q(x)}$ όπου $q(x) \neq 0$
• Τριγωνομετρικές: $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, ...
• Εκθετικές: $a^x$, $e^x$
• Λογαριθμικές: $\log_a x$, $\ln x$
• Ρίζες: $\sqrt[n]{x}$

Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων

Θεώρημα Bolzano

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[a, b]$ και $f(a) \cdot f(b) < 0$ (δηλ. έχουν αντίθετα πρόσημα), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $c \in (a, b)$ ώστε:

$$f(c) = 0$$

Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[a, b]$ και $k$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ $f(a)$ και $f(b)$, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $c \in (a, b)$ ώστε:

$$f(c) = k$$

Θεώρημα Weierstrass (Ακρότατων Τιμών)

Αν η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[a, b]$, τότε:

• Η $f$ είναι φραγμένη στο $[a, b]$
• Η $f$ παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο $[a, b]$

Ομοιόμορφη Συνέχεια

Μια συνάρτηση $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής στο $A$ αν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ (που εξαρτάται μόνο από το $\varepsilon$, όχι από το σημείο) ώστε:

$$|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$$

για όλα τα $x, y \in A$.

Θεώρημα: Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι ομοιόμορφα συνεχής.