Εισαγωγή στις Ιδιότητες Οι ιδιότητες των λογαρίθμων είναι απαραίτητα εργαλεία για την απλοποίηση και επίλυση λογαριθμικών εκφράσεων και εξισώσεων. Προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του λογαρίθμου και τις αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων.
Οι Βασικές Ιδιότητες Έστω α > 0 \alpha > 0 α > 0 α ≠ 1 \alpha \neq 1 α = 1 β , γ > 0 \beta, \gamma > 0 β , γ > 0
1. Λογάριθμος Γινομένου log α ( β ⋅ γ ) = log α β + log α γ \log_{\alpha}(\beta \cdot \gamma) = \log_{\alpha}\beta + \log_{\alpha}\gamma log α ( β ⋅ γ ) = log α β + log α γ
Ο λογάριθμος ενός γινομένου ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.
Απόδειξη: Έστω log α β = x \log_{\alpha}\beta = x log α β = x log α γ = y \log_{\alpha}\gamma = y log α γ = y α x = β \alpha^x = \beta α x = β α y = γ \alpha^y = \gamma α y = γ
Άρα β ⋅ γ = α x ⋅ α y = α x + y \beta \cdot \gamma = \alpha^x \cdot \alpha^y = \alpha^{x+y} β ⋅ γ = α x ⋅ α y = α x + y log α ( β ⋅ γ ) = x + y = log α β + log α γ \log_{\alpha}(\beta \cdot \gamma) = x + y = \log_{\alpha}\beta + \log_{\alpha}\gamma log α ( β ⋅ γ ) = x + y = log α β + log α γ
Γενίκευση: log α ( β 1 ⋅ β 2 ⋅ . . . ⋅ β n ) = log α β 1 + log α β 2 + . . . + log α β n \log_{\alpha}(\beta_1 \cdot \beta_2 \cdot ... \cdot \beta_n) = \log_{\alpha}\beta_1 + \log_{\alpha}\beta_2 + ... + \log_{\alpha}\beta_n log α ( β 1 ⋅ β 2 ⋅ ... ⋅ β n ) = log α β 1 + log α β 2 + ... + log α β n
2. Λογάριθμος Πηλίκου log α β γ = log α β − log α γ \log_{\alpha}\frac{\beta}{\gamma} = \log_{\alpha}\beta - \log_{\alpha}\gamma log α γ β = log α β − log α γ
Ο λογάριθμος ενός πηλίκου ισούται με τη διαφορά των λογαρίθμων αριθμητή και παρονομαστή.
Απόδειξη: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του γινομένου:
log α β = log α ( β γ ⋅ γ ) = log α β γ + log α γ \log_{\alpha}\beta = \log_{\alpha}\left(\frac{\beta}{\gamma} \cdot \gamma\right) = \log_{\alpha}\frac{\beta}{\gamma} + \log_{\alpha}\gamma log α β = log α ( γ β ⋅ γ ) = log α γ β + log α γ
Άρα log α β γ = log α β − log α γ \log_{\alpha}\frac{\beta}{\gamma} = \log_{\alpha}\beta - \log_{\alpha}\gamma log α γ β = log α β − log α γ
3. Λογάριθμος Δύναμης log α β n = n ⋅ log α β \log_{\alpha}\beta^n = n \cdot \log_{\alpha}\beta log α β n = n ⋅ log α β
για κάθε n ∈ R n \in \mathbb{R} n ∈ R
Ο εκθέτης μπορεί να "κατέβει" μπροστά από τον λογάριθμο ως συντελεστής.
Απόδειξη: Έστω log α β = x \log_{\alpha}\beta = x log α β = x α x = β \alpha^x = \beta α x = β
Τότε β n = ( α x ) n = α n x \beta^n = (\alpha^x)^n = \alpha^{nx} β n = ( α x ) n = α n x log α β n = n x = n ⋅ log α β \log_{\alpha}\beta^n = nx = n \cdot \log_{\alpha}\beta log α β n = n x = n ⋅ log α β
4. Λογάριθμος Ρίζας log α β n = 1 n ⋅ log α β \log_{\alpha}\sqrt[n]{\beta} = \frac{1}{n} \cdot \log_{\alpha}\beta log α n β = n 1 ⋅ log α β
Αυτή είναι ειδική περίπτωση της ιδιότητας της δύναμης, αφού β n = β 1 / n \sqrt[n]{\beta} = \beta^{1/n} n β = β 1/ n
Ειδικές Περιπτώσεις Από τις βασικές ιδιότητες προκύπτουν οι εξής χρήσιμες σχέσεις:
log α 1 β = − log α β \log_{\alpha}\frac{1}{\beta} = -\log_{\alpha}\beta log α β 1 = − log α β
διότι log α 1 β = log α 1 − log α β = 0 − log α β \log_{\alpha}\frac{1}{\beta} = \log_{\alpha}1 - \log_{\alpha}\beta = 0 - \log_{\alpha}\beta log α β 1 = log α 1 − log α β = 0 − log α β
Συνηθισμένα Λάθη ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα παρακάτω είναι λάθος :
log α ( β + γ ) ≠ log α β + log α γ \log_{\alpha}(\beta + \gamma) \neq \log_{\alpha}\beta + \log_{\alpha}\gamma log α ( β + γ ) = log α β + log α γ log α ( β − γ ) ≠ log α β − log α γ \log_{\alpha}(\beta - \gamma) \neq \log_{\alpha}\beta - \log_{\alpha}\gamma log α ( β − γ ) = log α β − log α γ log α β log α γ ≠ log α β γ \frac{\log_{\alpha}\beta}{\log_{\alpha}\gamma} \neq \log_{\alpha}\frac{\beta}{\gamma} l o g α γ l o g α β = log α γ β ( log α β ) n ≠ log α β n (\log_{\alpha}\beta)^n \neq \log_{\alpha}\beta^n ( log α β ) n = log α β n Οι ιδιότητες ισχύουν μόνο για γινόμενα, πηλίκα και δυνάμεις, όχι για αθροίσματα και διαφορές.
Επίλυση Λογαριθμικών Εξισώσεων Οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση εξισώσεων:
Μέθοδος 1: Μετατροπή σε έναν λογάριθμο
Αν log α β = log α γ \log_{\alpha}\beta = \log_{\alpha}\gamma log α β = log α γ β = γ \beta = \gamma β = γ β , γ > 0 \beta, \gamma > 0 β , γ > 0
Μέθοδος 2: Μετατροπή σε εκθετική μορφή
Αν log α β = c \log_{\alpha}\beta = c log α β = c β = α c \beta = \alpha^c β = α c
