Στερεομετρία

Εισαγωγή στη Στερεομετρία

Η στερεομετρία είναι ο κλάδος της γεωμετρίας που μελετά τα τρισδιάστατα σχήματα (στερεά) και τις ιδιότητές τους. Τα βασικά μεγέθη που υπολογίζουμε είναι η επιφάνεια (πλευρική και ολική) και ο όγκος των στερεών.

Πρίσματα

Το πρίσμα είναι πολύεδρο με δύο παράλληλες και ίσες βάσεις που είναι πολύγωνα, και πλευρικές έδρες που είναι παραλληλόγραμμα.

Ορθό Πρίσμα

Στο ορθό πρίσμα, οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στις βάσεις.

Όγκος:

$$V = B \cdot h$$

όπου $B$ το εμβαδόν της βάσης και $h$ το ύψος.

Πλευρική επιφάνεια:

$$S_{\pi\lambda} = P \cdot h$$

όπου $P$ η περίμετρος της βάσης.

Ολική επιφάνεια:

$$S_{ολ} = S_{\pi\lambda} + 2B$$

Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο

Ειδική περίπτωση πρίσματος με ορθογώνιες βάσεις και διαστάσεις $a$, $b$, $c$.

Όγκος:

$$V = a \cdot b \cdot c$$

Διαγώνιος:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Ολική επιφάνεια:

$$S_{ολ} = 2(ab + bc + ca)$$

Κύβος

Παραλληλεπίπεδο με ακμή $a$.

$$V = a^3, \quad d = a\sqrt{3}, \quad S_{ολ} = 6a^2$$

Πυραμίδες

Η πυραμίδα έχει μία πολυγωνική βάση και τριγωνικές πλευρικές έδρες που συγκλίνουν σε μία κορυφή.

Όγκος:

$$V = \frac{1}{3}B \cdot h$$

Κανονική Πυραμίδα

Έχει κανονικό πολύγωνο ως βάση και η κάθετος από την κορυφή περνά από το κέντρο της βάσης.

Πλευρική επιφάνεια:

$$S_{\pi\lambda} = \frac{1}{2}P \cdot a$$

όπου $a$ το απόθεμα (ύψος πλευρικής έδρας).

Τετραγωνική Πυραμίδα

Με πλευρά βάσης $b$ και ύψος $h$:

$$V = \frac{1}{3}b^2 h$$

Κύλινδρος

Ο κύλινδρος προκύπτει από την περιστροφή ορθογωνίου γύρω από μία πλευρά του.

Όγκος:

$$V = \pi \rho^2 h$$

Πλευρική επιφάνεια:

$$S_{\pi\lambda} = 2\pi \rho h$$

Ολική επιφάνεια:

$$S_{ολ} = 2\pi \rho (\rho + h)$$

όπου $\rho$ η ακτίνα της βάσης και $h$ το ύψος.

Κώνος

Ο κώνος προκύπτει από την περιστροφή ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μία κάθετη πλευρά του.

Όγκος:

$$V = \frac{1}{3}\pi \rho^2 h$$

Πλευρική επιφάνεια:

$$S_{\pi\lambda} = \pi \rho \ell$$

όπου $\ell = \sqrt{\rho^2 + h^2}$ η γενέτειρα.

Ολική επιφάνεια:

$$S_{ολ} = \pi \rho (\rho + \ell)$$

Σφαίρα

Η σφαίρα είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου που απέχουν σταθερή απόσταση $R$ από ένα σταθερό σημείο.

Όγκος:

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Επιφάνεια:

$$S = 4\pi R^2$$

Σφαιρικός Τομέας

Τμήμα σφαίρας που περιορίζεται από κωνική επιφάνεια.

$$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$$

όπου $h$ το ύψος του αντίστοιχου σφαιρικού καλύμματος.

Σφαιρικό Κάλυμμα

$$S_{καλ} = 2\pi R h$$

Κολουροειδή Σχήματα

Κολουροκώνος

Τμήμα κώνου μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων.

Όγκος:

$$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$$

όπου $R$ και $r$ οι ακτίνες των βάσεων.

Πλευρική επιφάνεια:

$$S_{\pi\lambda} = \pi(R + r)\ell$$

Κολουροπυραμίδα

Όγκος:

$$V = \frac{1}{3}h(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$$

Αρχή του Καβαλιέρι

Αν δύο στερεά έχουν ίσα εμβαδά σε κάθε τομή με οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο σε ένα δεδομένο επίπεδο, τότε έχουν ίσους όγκους.

Σχέσεις Ομοιότητας

Για όμοια στερεά με λόγο ομοιότητας $k$:

• Λόγος επιφανειών: $k^2$
• Λόγος όγκων: $k^3$