Τετραγωνικές Συναρτήσεις

Εισαγωγή στις Τετραγωνικές Συναρτήσεις

Οι τετραγωνικές συναρτήσεις είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις δευτέρου βαθμού και αποτελούν μια από τις πιο σημαντικές κατηγορίες συναρτήσεων στα μαθηματικά. Η γραφική τους παράσταση είναι μια καμπύλη που ονομάζεται παραβολή. Χρησιμοποιούνται ευρέως στη φυσική (π.χ. κίνηση βλημάτων), την οικονομία και τη μηχανική.

Ορισμός Τετραγωνικής Συνάρτησης

Ορισμός: Μια συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ λέγεται τετραγωνική αν μπορεί να γραφεί στη μορφή:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

όπου $a$, $b$, $c$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $a \neq 0$.

Πεδίο Ορισμού: $D_f = \mathbb{R}$

Η Παραβολή

Η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια παραβολή.

Προσανατολισμός της παραβολής:

• Αν $a > 0$: Η παραβολή έχει τα "κέρατα" προς τα πάνω (κυρτή προς τα κάτω)
• Αν $a < 0$: Η παραβολή έχει τα "κέρατα" προς τα κάτω (κυρτή προς τα πάνω)

Επίδραση του $|a|$:

• Αν $|a| > 1$: Η παραβολή είναι "στενότερη" (πιο απότομη)
• Αν $|a| < 1$: Η παραβολή είναι "πλατύτερη" (πιο ανοιχτή)

Κορυφή της Παραβολής

Η κορυφή είναι το ακρότατο σημείο της παραβολής (ελάχιστο αν $a > 0$, μέγιστο αν $a < 0$).

Συντεταγμένες κορυφής:

$$x_k = -\frac{b}{2a}$$

$$y_k = f(x_k) = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}$$

όπου $\Delta = b^2 - 4ac$ είναι η διακρίνουσα.

Άρα η κορυφή είναι το σημείο:

$$K\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$$

Άξονας Συμμετρίας

Ο άξονας συμμετρίας είναι η κατακόρυφη ευθεία που περνά από την κορυφή. Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς αυτή την ευθεία.

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Σύνολο Τιμών

Το σύνολο τιμών εξαρτάται από το πρόσημο του $a$:

• Αν $a > 0$: $f(\mathbb{R}) = \left[-\frac{\Delta}{4a}, +\infty\right)$ (ελάχιστη τιμή στην κορυφή)
• Αν $a < 0$: $f(\mathbb{R}) = \left(-\infty, -\frac{\Delta}{4a}\right]$ (μέγιστη τιμή στην κορυφή)

Διακρίνουσα και Ρίζες

Η διακρίνουσα $\Delta = b^2 - 4ac$ καθορίζει τον αριθμό των ριζών (σημεία τομής με τον άξονα $x$):

• $\Delta > 0$: Δύο διακριτές πραγματικές ρίζες: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• $\Delta = 0$: Μία διπλή ρίζα: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ (η παραβολή εφάπτεται στον άξονα $x$)
• $\Delta < 0$: Καμία πραγματική ρίζα (η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα $x$)

Κανονική Μορφή

Η τετραγωνική συνάρτηση μπορεί να γραφεί στην κανονική μορφή (ή μορφή κορυφής):

$$f(x) = a(x - x_k)^2 + y_k$$

όπου $(x_k, y_k)$ είναι η κορυφή.

Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη γιατί δείχνει άμεσα:

• Την κορυφή της παραβολής
• Τον προσανατολισμό (πρόσημο του $a$)

Μονοτονία

Η τετραγωνική συνάρτηση $f(x) = ax^2 + bx + c$:

Αν $a > 0$:

• Γνησίως φθίνουσα στο $\left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right]$
• Γνησίως αύξουσα στο $\left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right)$

Αν $a < 0$:

• Γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right]$
• Γνησίως φθίνουσα στο $\left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right)$

Παραγοντοποιημένη Μορφή

Αν η τετραγωνική έχει ρίζες $x_1$ και $x_2$, μπορεί να γραφεί:

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Σχέσεις Vieta

Για τις ρίζες $x_1$, $x_2$ της $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Σημεία Τομής με τους Άξονες

Με τον άξονα $y$: Θέτουμε $x = 0$

$$f(0) = c$$

Σημείο τομής: $(0, c)$

Με τον άξονα $x$: Λύνουμε $f(x) = 0$

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) είναι $(x_1, 0)$ και $(x_2, 0)$