Η Παραβολή

Ορισμός της Παραβολής

Η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο $F$ (την εστία) και από μια σταθερή ευθεία $\delta$ (τη διευθετούσα).

Αν $P$ είναι σημείο της παραβολής, τότε:

$$d(P, F) = d(P, \delta)$$

Η παραβολή έχει εκκεντρότητα $e = 1$, που την διακρίνει από τις άλλες κωνικές τομές.

Στοιχεία της Παραβολής

Κορυφή

Η κορυφή $V$ είναι το σημείο της παραβολής που βρίσκεται πιο κοντά στη διευθετούσα. Βρίσκεται στο μέσο της απόστασης μεταξύ εστίας και διευθετούσας.

Άξονας Συμμετρίας

Ο άξονας της παραβολής είναι η ευθεία που περνά από την εστία και είναι κάθετη στη διευθετούσα. Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονά της.

Παράμετρος

Η παράμετρος $p$ είναι η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Η κορυφή απέχει $\frac{p}{2}$ τόσο από την εστία όσο και από τη διευθετούσα.

Εστιακή Χορδή (Latus Rectum)

Η εστιακή χορδή είναι η χορδή που περνά από την εστία και είναι κάθετη στον άξονα. Το μήκος της είναι $2p$.

Κανονικές Μορφές Εξίσωσης

Παραβολή με κορυφή στην αρχή

Άνοιγμα προς τα δεξιά (άξονας ο $x'x$):

$$y^2 = 4px, \quad p > 0$$

• Εστία: $F(p, 0)$
• Διευθετούσα: $x = -p$
• Κορυφή: $V(0, 0)$

Άνοιγμα προς τα αριστερά:

$$y^2 = -4px, \quad p > 0$$

• Εστία: $F(-p, 0)$
• Διευθετούσα: $x = p$

Άνοιγμα προς τα πάνω (άξονας ο $y'y$):

$$x^2 = 4py, \quad p > 0$$

• Εστία: $F(0, p)$
• Διευθετούσα: $y = -p$

Άνοιγμα προς τα κάτω:

$$x^2 = -4py, \quad p > 0$$

• Εστία: $F(0, -p)$
• Διευθετούσα: $y = p$

Παραβολή με κορυφή στο $(h, k)$

Οριζόντιος άξονας:

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

• Κορυφή: $V(h, k)$
• Εστία: $F(h + p, k)$
• Διευθετούσα: $x = h - p$

Κατακόρυφος άξονας:

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

• Κορυφή: $V(h, k)$
• Εστία: $F(h, k + p)$
• Διευθετούσα: $y = k - p$

Η Τετραγωνική Συνάρτηση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = ax^2 + bx + c$ είναι παραβολή με:

• Κορυφή: $V\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$
• Άξονας συμμετρίας: $x = -\frac{b}{2a}$
• Άνοιγμα: Προς τα πάνω αν $a > 0$, προς τα κάτω αν $a < 0$

Η κανονική μορφή είναι:

$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$

όπου $(h, k)$ η κορυφή.

Εφαπτομένη της Παραβολής

Η εφαπτομένη της παραβολής $y^2 = 4px$ στο σημείο $(x_0, y_0)$ έχει εξίσωση:

$$y \cdot y_0 = 2p(x + x_0)$$

Για την παραβολή $x^2 = 4py$ στο σημείο $(x_0, y_0)$:

$$x \cdot x_0 = 2p(y + y_0)$$

Ανακλαστική Ιδιότητα

Η παραβολή έχει μια σημαντική ιδιότητα: ακτίνες παράλληλες στον άξονα ανακλώνται και περνούν από την εστία, και αντίστροφα.

Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται σε:

• Παραβολικά κάτοπτρα
• Δορυφορικές κεραίες
• Ηλιακούς συλλέκτες
• Προβολείς φωτός

Παραμετρικές Εξισώσεις

Η παραβολή $y^2 = 4px$ μπορεί να περιγραφεί παραμετρικά:

$$x = pt^2, \quad y = 2pt$$

όπου $t \in \mathbb{R}$ είναι η παράμετρος.