Πράξεις με Κλάσματα

Οι τέσσερις βασικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση) με κλάσματα ακολουθούν συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να κατανοήσουμε πλήρως.

Πρόσθεση Κλασμάτων

Με Κοινό Παρονομαστή

Όταν τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, προσθέτουμε τους αριθμητές και κρατάμε τον κοινό παρονομαστή:

$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$$

Παράδειγμα 1:

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}$$

Με Διαφορετικό Παρονομαστή

Όταν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, πρέπει πρώτα να τα μετατρέψουμε σε ισοδύναμα κλάσματα με κοινό παρονομαστή (συνήθως το ΕΚΠ):

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$$

Ή πιο αποτελεσματικά, χρησιμοποιώντας το ΕΚΠ:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \frac{\text{ΕΚΠ}}{b} + c \cdot \frac{\text{ΕΚΠ}}{d}}{\text{ΕΚΠ}(b,d)}$$

Παράδειγμα 2: Υπολογίστε $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

ΕΚΠ(3, 4) = 12

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$$

Παράδειγμα 3: Υπολογίστε $\frac{5}{6} + \frac{7}{9}$

ΕΚΠ(6, 9) = 18

$$\frac{5}{6} + \frac{7}{9} = \frac{5 \cdot 3}{18} + \frac{7 \cdot 2}{18} = \frac{15}{18} + \frac{14}{18} = \frac{29}{18} = 1\frac{11}{18}$$

Αφαίρεση Κλασμάτων

Η αφαίρεση ακολουθεί τους ίδιους κανόνες με την πρόσθεση:

Με Κοινό Παρονομαστή

$$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$$

Παράδειγμα 4:

$$\frac{8}{11} - \frac{3}{11} = \frac{8 - 3}{11} = \frac{5}{11}$$

Με Διαφορετικό Παρονομαστή

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$$

Παράδειγμα 5: Υπολογίστε $\frac{7}{8} - \frac{2}{5}$

ΕΚΠ(8, 5) = 40

$$\frac{7}{8} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{40} - \frac{2 \cdot 8}{40} = \frac{35}{40} - \frac{16}{40} = \frac{19}{40}$$

Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων

Ο πολλαπλασιασμός κλασμάτων είναι απλός: πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές μεταξύ τους και τους παρονομαστές μεταξύ τους:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Παράδειγμα 6:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$$

Παράδειγμα 7: Με απλοποίηση πριν τον πολλαπλασιασμό

$$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}_2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

Συμβουλή: Απλοποιήστε πριν τον πολλαπλασιασμό για να αποφύγετε μεγάλους αριθμούς!

Πολλαπλασιασμός με Ακέραιο

$$n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}$$

Παράδειγμα 8:

$$5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 3}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$$

Διαίρεση Κλασμάτων

Η διαίρεση κλασμάτων γίνεται πολλαπλασιάζοντας με τον αντίστροφο του διαιρέτη:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Ο αντίστροφος του $\frac{c}{d}$ είναι το $\frac{d}{c}$ (αντιστρέφουμε αριθμητή και παρονομαστή).

Παράδειγμα 9:

$$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$$

Παράδειγμα 10:

$$\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}_2} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{10}_2} = \frac{3}{4}$$

Διαίρεση με Ακέραιο

$$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a}{b \cdot n}$$

Παράδειγμα 11:

$$\frac{6}{7} \div 3 = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$$

Σύνθετες Πράξεις

Στις σύνθετες πράξεις, ακολουθούμε τη σειρά προτεραιότητας:

1. Παρενθέσεις
2. Δυνάμεις
3. Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση (από αριστερά προς δεξιά)
4. Πρόσθεση και Αφαίρεση (από αριστερά προς δεξιά)

Παράδειγμα 12: Υπολογίστε $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Πρώτα ο πολλαπλασιασμός:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Μετά η πρόσθεση:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Παράδειγμα 13: Υπολογίστε $\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{5}$

Πρώτα η παρένθεση:

$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$$

Μετά ο πολλαπλασιασμός:

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$

Ιδιότητες των Πράξεων

Αντιμεταθετική Ιδιότητα

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$$

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}$$

Προσεταιριστική Ιδιότητα

$$\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right)$$

Επιμεριστική Ιδιότητα

$$\frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}$$