Αλγεβρικά Κλάσματα

Τα αλγεβρικά κλάσματα είναι κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές (γράμματα) στον αριθμητή, τον παρονομαστή ή και στα δύο. Αποτελούν θεμελιώδες εργαλείο στην Άλγεβρα και την Ανάλυση.

Ορισμός

Ένα αλγεβρικό κλάσμα έχει τη μορφή:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

όπου $P(x)$ και $Q(x)$ είναι πολυώνυμα και $Q(x) \neq 0$.

Παραδείγματα αλγεβρικών κλασμάτων:

• $\frac{x+1}{x-2}$
• $\frac{2x^2+3x-5}{x^2-4}$
• $\frac{3}{x+1}$

Πεδίο Ορισμού

Το πεδίο ορισμού ενός αλγεβρικού κλάσματος είναι το σύνολο των τιμών της μεταβλητής για τις οποίες ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται.

$$\text{Πεδίο Ορισμού} = \{x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0\}$$

Παράδειγμα 1: Βρείτε το πεδίο ορισμού του $\frac{x+3}{x-5}$

$x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$

Πεδίο Ορισμού: $\mathbb{R} \setminus \{5\}$ ή $(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$

Παράδειγμα 2: Βρείτε το πεδίο ορισμού του $\frac{2x}{x^2-9}$

$x^2 - 9 \neq 0$

$(x-3)(x+3) \neq 0$

$x \neq 3$ και $x \neq -3$

Πεδίο Ορισμού: $\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$

Απλοποίηση Αλγεβρικών Κλασμάτων

Για να απλοποιήσουμε ένα αλγεβρικό κλάσμα:

1. Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή
2. Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες
3. Προσέχουμε τους περιορισμούς στο πεδίο ορισμού

Παράδειγμα 3: Απλοποιήστε το $\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$

Παραγοντοποίηση:

$$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}$$

Απλοποίηση (για $x \neq 2$):

$$= \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{(x-2)}(x-2)} = \frac{x+2}{x-2}, \quad x \neq 2$$

Παράδειγμα 4: Απλοποιήστε το $\frac{x^2+5x+6}{x^2+x-2}$

Παραγοντοποίηση αριθμητή: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$

Παραγοντοποίηση παρονομαστή: $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$$\frac{x^2+5x+6}{x^2+x-2} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x+3}{x-1}, \quad x \neq -2$$

Πράξεις με Αλγεβρικά Κλάσματα

Πολλαπλασιασμός

$$\frac{P_1}{Q_1} \cdot \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1 \cdot P_2}{Q_1 \cdot Q_2}$$

Παράδειγμα 5: Υπολογίστε $\frac{x^2-1}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-1}$

$$\frac{x^2-1}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{\cancel{x+2}} \cdot \frac{\cancel{x+2}}{x-1}$$

$$= \frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{x-1}} = x+1, \quad x \neq -2, x \neq 1$$

Διαίρεση

$$\frac{P_1}{Q_1} \div \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1}{Q_1} \cdot \frac{Q_2}{P_2} = \frac{P_1 \cdot Q_2}{Q_1 \cdot P_2}$$

Παράδειγμα 6: Υπολογίστε $\frac{x^2-9}{x^2+6x+9} \div \frac{x-3}{x+3}$

$$= \frac{x^2-9}{x^2+6x+9} \cdot \frac{x+3}{x-3}$$

$$= \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} \cdot \frac{x+3}{x-3}$$

$$= \frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}(x+3)} \cdot \frac{\cancel{x+3}}{\cancel{x-3}}$$

$$= 1, \quad x \neq \pm 3$$

Πρόσθεση και Αφαίρεση

Με Κοινό Παρονομαστή

$$\frac{P_1}{Q} \pm \frac{P_2}{Q} = \frac{P_1 \pm P_2}{Q}$$

Παράδειγμα 7:

$$\frac{2x+1}{x-3} + \frac{x-4}{x-3} = \frac{(2x+1)+(x-4)}{x-3} = \frac{3x-3}{x-3} = \frac{3(x-1)}{x-3}$$

Με Διαφορετικό Παρονομαστή

Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών.

Παράδειγμα 8: Υπολογίστε $\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$

ΕΚΠ: $(x-1)(x+1) = x^2-1$

$$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

$$= \frac{2(x+1) + 3(x-1)}{x^2-1} = \frac{2x+2+3x-3}{x^2-1} = \frac{5x-1}{x^2-1}$$

Παράδειγμα 9: Υπολογίστε $\frac{x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2}$

Παραγοντοποίηση: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$

ΕΚΠ: $(x-2)(x+2)$

$$\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2} = \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$$

$$= \frac{x-(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-x-2}{x^2-4} = \frac{-2}{x^2-4}$$

Σύνθετες Απλοποιήσεις

Παράδειγμα 10: Απλοποιήστε $\frac{x^3-8}{x^2-4}$

Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες:

• $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

$$\frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+4}{x+2}, \quad x \neq 2$$

Παράδειγμα 11: Απλοποιήστε $\frac{x^2-x-6}{x^2+x-12} \cdot \frac{x^2-16}{x^2-9}$

Παραγοντοποιήσεις:

• $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$
• $x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$
• $x^2-16 = (x-4)(x+4)$
• $x^2-9 = (x-3)(x+3)$

$$= \frac{(x-3)(x+2)}{(x+4)(x-3)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)}$$

$$= \frac{\cancel{(x-3)}(x+2)}{\cancel{(x+4)}(x-3)} \cdot \frac{(x-4)\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x-3)}(x+3)}$$

$$= \frac{(x+2)(x-4)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-2x-8}{x^2-9}$$

Ειδικές Περιπτώσεις

Κλάσματα με Ρίζες

Παράδειγμα 12: Απλοποιήστε $\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ για $x \geq 0$, $x \neq 4$

$$\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{(\sqrt{x})^2-2^2}{\sqrt{x}-2} = \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} = \sqrt{x}+2$$

Αντίστροφα Κλάσματα

Το αντίστροφο του $\frac{P}{Q}$ είναι το $\frac{Q}{P}$ (όπου $P \neq 0$).

$$\frac{P}{Q} \cdot \frac{Q}{P} = 1$$

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Πάντα ελέγχουμε το πεδίο ορισμού πριν και μετά την απλοποίηση
2. Οι απλοποιήσεις δεν αλλάζουν τους περιορισμούς - μια τιμή που μηδενίζει τον αρχικό παρονομαστή παραμένει απαγορευμένη
3. Προσοχή στα πρόσημα κατά την παραγοντοποίηση: $(a-b) = -(b-a)$