Τα σύνθετα κλάσματα (ή κλάσματα κλασμάτων) είναι κλάσματα που περιέχουν άλλα κλάσματα στον αριθμητή, τον παρονομαστή, ή και στα δύο. Η απλοποίησή τους απαιτεί συστηματική προσέγγιση.
Ορισμός Ένα σύνθετο κλάσμα έχει τη γενική μορφή:
a b c d \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} d c b a
ή πιο σύνθετα:
a b + c d e f − g h \frac{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}{\frac{e}{f} - \frac{g}{h}} f e − h g b a + d c
Μέθοδοι Απλοποίησης Μέθοδος 1: Διαίρεση Κλασμάτων Μετατρέπουμε το σύνθετο κλάσμα σε διαίρεση και εφαρμόζουμε τον κανόνα "διαιρώ με κλάσμα = πολλαπλασιάζω με τον αντίστροφο".
a b c d = a b ÷ c d = a b ⋅ d c = a ⋅ d b ⋅ c \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} d c b a = b a ÷ d c = b a ⋅ c d = b ⋅ c a ⋅ d
Παράδειγμα 1: Απλοποιήστε 3 4 5 8 \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} 8 5 4 3
3 4 5 8 = 3 4 ÷ 5 8 = 3 4 ⋅ 8 5 = 3 ⋅ 8 4 ⋅ 5 = 24 20 = 6 5 \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{4} \div \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} 8 5 4 3 = 4 3 ÷ 8 5 = 4 3 ⋅ 5 8 = 4 ⋅ 5 3 ⋅ 8 = 20 24 = 5 6
Μέθοδος 2: Πολλαπλασιασμός με το ΕΚΠ Πολλαπλασιάζουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με το ΕΚΠ όλων των παρονομαστών που εμφανίζονται.
Παράδειγμα 2: Απλοποιήστε 2 3 + 1 4 5 6 \frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} 6 5 3 2 + 4 1
ΕΚΠ(3, 4, 6) = 12
Πολλαπλασιάζουμε πάνω και κάτω με 12:
2 3 + 1 4 5 6 = ( 2 3 + 1 4 ) ⋅ 12 5 6 ⋅ 12 = 2 ⋅ 12 3 + 1 ⋅ 12 4 5 ⋅ 12 6 = 8 + 3 10 = 11 10 \frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} = \frac{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right) \cdot 12}{\frac{5}{6} \cdot 12} = \frac{\frac{2 \cdot 12}{3} + \frac{1 \cdot 12}{4}}{\frac{5 \cdot 12}{6}} = \frac{8 + 3}{10} = \frac{11}{10} 6 5 3 2 + 4 1 = 6 5 ⋅ 12 ( 3 2 + 4 1 ) ⋅ 12 = 6 5 ⋅ 12 3 2 ⋅ 12 + 4 1 ⋅ 12 = 10 8 + 3 = 10 11
Αριθμητικά Παραδείγματα Παράδειγμα 3: Απλοποιήστε 1 + 1 2 1 − 1 2 \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} 1 − 2 1 1 + 2 1
Λύση με Μέθοδο 1:
1 + 1 2 1 − 1 2 = 2 + 1 2 2 − 1 2 = 3 2 1 2 = 3 2 ⋅ 2 1 = 3 \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+1}{2}}{\frac{2-1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3 1 − 2 1 1 + 2 1 = 2 2 − 1 2 2 + 1 = 2 1 2 3 = 2 3 ⋅ 1 2 = 3
Λύση με Μέθοδο 2:
ΕΚΠ = 2
1 + 1 2 1 − 1 2 = ( 1 + 1 2 ) ⋅ 2 ( 1 − 1 2 ) ⋅ 2 = 2 + 1 2 − 1 = 3 1 = 3 \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot 2}{\left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot 2} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 1 − 2 1 1 + 2 1 = ( 1 − 2 1 ) ⋅ 2 ( 1 + 2 1 ) ⋅ 2 = 2 − 1 2 + 1 = 1 3 = 3
Παράδειγμα 4: Απλοποιήστε 1 2 − 1 3 1 4 + 1 6 \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{6}} 4 1 + 6 1 2 1 − 3 1
ΕΚΠ(2, 3, 4, 6) = 12
1 2 − 1 3 1 4 + 1 6 = ( 1 2 − 1 3 ) ⋅ 12 ( 1 4 + 1 6 ) ⋅ 12 = 6 − 4 3 + 2 = 2 5 \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot 12}{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\right) \cdot 12} = \frac{6 - 4}{3 + 2} = \frac{2}{5} 4 1 + 6 1 2 1 − 3 1 = ( 4 1 + 6 1 ) ⋅ 12 ( 2 1 − 3 1 ) ⋅ 12 = 3 + 2 6 − 4 = 5 2
Παράδειγμα 5: Απλοποιήστε 2 3 + 1 2 \frac{2}{3 + \frac{1}{2}} 3 + 2 1 2
Πρώτα απλοποιούμε τον παρονομαστή:
3 + 1 2 = 6 + 1 2 = 7 2 3 + \frac{1}{2} = \frac{6+1}{2} = \frac{7}{2} 3 + 2 1 = 2 6 + 1 = 2 7
Άρα:
2 3 + 1 2 = 2 7 2 = 2 ⋅ 2 7 = 4 7 \frac{2}{3 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{7}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7} 3 + 2 1 2 = 2 7 2 = 2 ⋅ 7 2 = 7 4
Αλγεβρικά Σύνθετα Κλάσματα Παράδειγμα 6: Απλοποιήστε 1 x + 1 y 1 x − 1 y \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} x 1 − y 1 x 1 + y 1
ΕΚΠ = x y xy x y
1 x + 1 y 1 x − 1 y = ( 1 x + 1 y ) ⋅ x y ( 1 x − 1 y ) ⋅ x y = y + x y − x = x + y y − x \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \cdot xy}{\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) \cdot xy} = \frac{y + x}{y - x} = \frac{x+y}{y-x} x 1 − y 1 x 1 + y 1 = ( x 1 − y 1 ) ⋅ x y ( x 1 + y 1 ) ⋅ x y = y − x y + x = y − x x + y
Παράδειγμα 7: Απλοποιήστε 1 − 1 x 1 + 1 x \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} 1 + x 1 1 − x 1
ΕΚΠ = x x x
1 − 1 x 1 + 1 x = ( 1 − 1 x ) ⋅ x ( 1 + 1 x ) ⋅ x = x − 1 x + 1 \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right) \cdot x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right) \cdot x} = \frac{x - 1}{x + 1} 1 + x 1 1 − x 1 = ( 1 + x 1 ) ⋅ x ( 1 − x 1 ) ⋅ x = x + 1 x − 1
Παράδειγμα 8: Απλοποιήστε x y − y x x y + y x \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} y x + x y y x − x y
ΕΚΠ = x y xy x y
x y − y x x y + y x = ( x y − y x ) ⋅ x y ( x y + y x ) ⋅ x y = x 2 − y 2 x 2 + y 2 \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} = \frac{\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) \cdot xy}{\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \cdot xy} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} y x + x y y x − x y = ( y x + x y ) ⋅ x y ( y x − x y ) ⋅ x y = x 2 + y 2 x 2 − y 2
Μπορούμε να γράψουμε και:
= ( x − y ) ( x + y ) x 2 + y 2 = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2 + y^2} = x 2 + y 2 ( x − y ) ( x + y )
Πολλαπλά Επίπεδα Παράδειγμα 9: Απλοποιήστε 1 1 + 1 1 + 1 2 \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}} 1 + 1 + 2 1 1 1
Ξεκινάμε από το εσωτερικό κλάσμα:
1 + 1 2 = 3 2 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} 1 + 2 1 = 2 3
Μετά:
1 + 1 3 2 = 1 + 2 3 = 5 3 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} 1 + 2 3 1 = 1 + 3 2 = 3 5
Τέλος:
1 5 3 = 3 5 \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} 3 5 1 = 5 3
Παράδειγμα 10: Απλοποιήστε 1 2 + 1 3 + 1 4 \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}} 2 + 3 + 4 1 1 1
Από μέσα προς τα έξω:
3 + 1 4 = 13 4 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} 3 + 4 1 = 4 13
2 + 1 13 4 = 2 + 4 13 = 26 + 4 13 = 30 13 2 + \frac{1}{\frac{13}{4}} = 2 + \frac{4}{13} = \frac{26 + 4}{13} = \frac{30}{13} 2 + 4 13 1 = 2 + 13 4 = 13 26 + 4 = 13 30
1 30 13 = 13 30 \frac{1}{\frac{30}{13}} = \frac{13}{30} 13 30 1 = 30 13
Σύνθετα Κλάσματα με Ρίζες Παράδειγμα 11: Απλοποιήστε 1 x − 1 y 1 x + 1 y \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}}}{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}}} x 1 + y 1 x 1 − y 1
ΕΚΠ = x y \sqrt{xy} x y
= ( 1 x − 1 y ) ⋅ x y ( 1 x + 1 y ) ⋅ x y = y − x y + x = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}}\right) \cdot \sqrt{xy}}{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}}\right) \cdot \sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{\sqrt{y} + \sqrt{x}} = ( x 1 + y 1 ) ⋅ x y ( x 1 − y 1 ) ⋅ x y = y + x y − x
Εφαρμογές Αντίσταση σε Παράλληλη Σύνδεση Στην Ηλεκτρολογία, η συνολική αντίσταση R R R R 1 R_1 R 1 R 2 R_2 R 2
1 R = 1 R 1 + 1 R 2 \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} R 1 = R 1 1 + R 2 1
Άρα:
R = 1 1 R 1 + 1 R 2 = 1 R 1 + R 2 R 1 R 2 = R 1 R 2 R 1 + R 2 R = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = \frac{1}{\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} R = R 1 1 + R 2 1 1 = R 1 R 2 R 1 + R 2 1 = R 1 + R 2 R 1 R 2
Παράδειγμα 12: Βρείτε τη συνολική αντίσταση για R 1 = 6 Ω R_1 = 6\Omega R 1 = 6Ω R 2 = 3 Ω R_2 = 3\Omega R 2 = 3Ω
R = 6 ⋅ 3 6 + 3 = 18 9 = 2 Ω R = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\Omega R = 6 + 3 6 ⋅ 3 = 9 18 = 2Ω
Αρμονικός Μέσος Ο αρμονικός μέσος δύο αριθμών a a a b b b
H = 2 1 a + 1 b = 2 a b a + b H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b} H = a 1 + b 1 2 = a + b 2 ab
Παράδειγμα 13: Βρείτε τον αρμονικό μέσο των 4 και 12.
H = 2 ⋅ 4 ⋅ 12 4 + 12 = 96 16 = 6 H = \frac{2 \cdot 4 \cdot 12}{4 + 12} = \frac{96}{16} = 6 H = 4 + 12 2 ⋅ 4 ⋅ 12 = 16 96 = 6
Στρατηγικές Επίλυσης Αναγνωρίστε τη δομή: Προσδιορίστε τον "κύριο" αριθμητή και παρονομαστήΕπιλέξτε μέθοδο: Για απλά κλάσματα: χρησιμοποιήστε τη διαίρεση Για σύνθετες εκφράσεις: χρησιμοποιήστε το ΕΚΠ Εργαστείτε από μέσα προς τα έξω σε πολλαπλά επίπεδαΑπλοποιήστε το τελικό αποτέλεσμα Ελέγξτε το πεδίο ορισμού για αλγεβρικές εκφράσειςΣυχνά Λάθη Λάθος: a b c = a b c \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{bc} c b a = b c a a b ⋅ 1 c = a b c \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{bc} b a ⋅ c 1 = b c a Λάθος: a b c = a b c \frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{ab}{c} c b a = c ab a ⋅ c b = a c b a \cdot \frac{c}{b} = \frac{ac}{b} a ⋅ b c = b a c Ξεχνάμε τους περιορισμούς στο πεδίο ορισμού