Δυναμική Κυκλικής Κίνησης

Εισαγωγή στη Δυναμική της Κυκλικής Κίνησης

Η δυναμική της κυκλικής κίνησης μελετά τις δυνάμεις που προκαλούν και διατηρούν την κυκλική κίνηση. Για να κινηθεί ένα σώμα σε κυκλική τροχιά, απαιτείται μια δύναμη που να το στρέφει συνεχώς προς το κέντρο.

Κεντρομόλος Επιτάχυνση

Σε ομαλή κυκλική κίνηση, η ταχύτητα έχει σταθερό μέτρο αλλά μεταβαλλόμενη διεύθυνση. Αυτό απαιτεί επιτάχυνση προς το κέντρο:

$$a_κ = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

όπου:

• $v$ = γραμμική ταχύτητα
• $r$ = ακτίνα κύκλου
• $\omega$ = γωνιακή ταχύτητα
• $T$ = περίοδος

Κεντρομόλος Δύναμη

Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη που προκαλεί την κεντρομόλο επιτάχυνση είναι:

$$F_κ = m \cdot a_κ = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$$

Σημαντικό: Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι νέο είδος δύναμης! Είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν στο σώμα, με κατεύθυνση προς το κέντρο.

Κεντρόφυγος Δύναμη

Η κεντρόφυγος δύναμη είναι μια ψευδοδύναμη που εμφανίζεται σε μη αδρανειακά (περιστρεφόμενα) συστήματα αναφοράς.

$$F_{\text{κεντρόφ}} = \frac{mv^2}{r}$$ (φορά από το κέντρο προς τα έξω)

Σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η κεντρόφυγος δύναμη δεν υπάρχει!

Παραδείγματα Κεντρομόλου Δύναμης

Αυτοκίνητο σε Στροφή

Σε οριζόντια στροφή, η τριβή παρέχει την κεντρομόλο δύναμη:

$$f = \frac{mv^2}{r}$$

Μέγιστη ταχύτητα χωρίς ολίσθηση:

$$v_{\max} = \sqrt{\mu g r}$$

Κεκλιμένη Στροφή (Ανάποδη Κλίση)

Σε ιδανική κεκλιμένη στροφή (χωρίς τριβή), η κλίση $\theta$ δίνεται από:

$$\tan\theta = \frac{v^2}{gr}$$

Η οριζόντια συνιστώσα της κάθετης αντίδρασης παρέχει την κεντρομόλο δύναμη.

Σώμα σε Κατακόρυφο Κύκλο

Στο χαμηλότερο σημείο:

$$T - mg = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow T = mg + \frac{mv^2}{r}$$

Στο υψηλότερο σημείο:

$$T + mg = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow T = \frac{mv^2}{r} - mg$$

Ελάχιστη ταχύτητα στην κορυφή για να διατηρηθεί η κυκλική τροχιά:

$$v_{\min} = \sqrt{gr}$$ (όταν $T = 0$)

Κωνικό Εκκρεμές

Σώμα που περιστρέφεται σε οριζόντιο κύκλο κρεμασμένο από νήμα μήκους $L$ που σχηματίζει γωνία $\theta$ με την κατακόρυφο:

$$T\cos\theta = mg$$

$$T\sin\theta = \frac{mv^2}{r}$$

Άρα: $\tan\theta = \frac{v^2}{gr}$

Περίοδος: $T = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}$

Δορυφόρος σε Τροχιά

Για δορυφόρο σε κυκλική τροχιά, η βαρυτική δύναμη παρέχει την κεντρομόλο:

$$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$

Ταχύτητα τροχιάς:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Περίοδος τροχιάς:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

Γεωστατικός Δορυφόρος

Ένας γεωστατικός δορυφόρος έχει περίοδο 24 ώρες και βρίσκεται σε υψόμετρο περίπου 36.000 km από την επιφάνεια της Γης.

Μη Ομαλή Κυκλική Κίνηση

Όταν η ταχύτητα μεταβάλλεται και σε μέτρο:

Εφαπτομενική επιτάχυνση: $a_t = \frac{dv}{dt}$ (αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας)

Κεντρομόλος επιτάχυνση: $a_κ = \frac{v^2}{r}$ (αλλάζει τη διεύθυνση)

Ολική επιτάχυνση:

$$a = \sqrt{a_t^2 + a_κ^2}$$