Η Έλλειψη

Ορισμός της Έλλειψης

Η έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία $F_1$ και $F_2$ (τις εστίες) είναι σταθερό.

Αν $P$ είναι σημείο της έλλειψης, τότε:

$$d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a$$

όπου $2a$ είναι το μήκος του μεγάλου άξονα.

Στοιχεία της Έλλειψης

Κέντρο

Το κέντρο $K$ της έλλειψης είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $F_1F_2$ που ενώνει τις εστίες.

Άξονες

• Μεγάλος άξονας: Μήκος $2a$, περνά από τις εστίες
• Μικρός άξονας: Μήκος $2b$, κάθετος στον μεγάλο, περνά από το κέντρο
• Ισχύει πάντα $a > b > 0$

Κορυφές

• Κύριες κορυφές: $A_1(-a, 0)$ και $A_2(a, 0)$ (πάνω στον μεγάλο άξονα)
• Δευτερεύουσες κορυφές: $B_1(0, -b)$ και $B_2(0, b)$ (πάνω στον μικρό άξονα)

Εστίες

Οι εστίες $F_1(-c, 0)$ και $F_2(c, 0)$ βρίσκονται πάνω στον μεγάλο άξονα, σε απόσταση $c$ από το κέντρο, όπου:

$$c^2 = a^2 - b^2$$

Εκκεντρότητα

Η εκκεντρότητα $e$ μετρά πόσο «πεπλατυσμένη» είναι η έλλειψη:

$$e = \frac{c}{a}$$

Για την έλλειψη ισχύει πάντα $0 < e < 1$. Όσο μικρότερη η εκκεντρότητα, τόσο πιο κυκλική η έλλειψη.

Κανονικές Μορφές Εξίσωσης

Έλλειψη με κέντρο στην αρχή

Μεγάλος άξονας κατά τον $x'x$ (οριζόντια έλλειψη):

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0$$

• Κέντρο: $K(0, 0)$
• Εστίες: $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$
• Κορυφές: $(\pm a, 0)$, $(0, \pm b)$

Μεγάλος άξονας κατά τον $y'y$ (κατακόρυφη έλλειψη):

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1, \quad a > b > 0$$

• Εστίες: $F_1(0, -c)$, $F_2(0, c)$
• Κορυφές: $(0, \pm a)$, $(\pm b, 0)$

Έλλειψη με κέντρο στο $(h, k)$

Οριζόντια:

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

Κατακόρυφη:

$$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$$

Διευθετούσες

Η έλλειψη έχει δύο διευθετούσες, κάθετες στον μεγάλο άξονα:

$$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^2}{c}$$

Για κάθε σημείο $P$ της έλλειψης, ο λόγος της απόστασης από μια εστία προς την απόστασή του από την αντίστοιχη διευθετούσα ισούται με $e$.

Εμβαδόν της Έλλειψης

Το εμβαδόν της έλλειψης δίνεται από τον τύπο:

$$E = \pi a b$$

Η περίμετρος δεν έχει κλειστό τύπο, αλλά μια καλή προσέγγιση είναι:

$$P \approx \pi \left[ 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right]$$

Εφαπτομένη της Έλλειψης

Η εφαπτομένη της έλλειψης $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ στο σημείο $(x_0, y_0)$:

$$\frac{x \cdot x_0}{a^2} + \frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1$$

Ανακλαστική Ιδιότητα

Ακτίνα που ξεκινά από τη μία εστία και προσπίπτει στην έλλειψη, ανακλάται και περνά από την άλλη εστία. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται στους «αίθουσες ψιθύρων» (whispering galleries).

Παραμετρικές Εξισώσεις

Η έλλειψη μπορεί να περιγραφεί παραμετρικά:

$$x = a\cos\theta, \quad y = b\sin\theta$$

όπου $\theta \in [0, 2\pi)$.