Η Υπερβολή

Ορισμός της Υπερβολής

Η υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία $F_1$ και $F_2$ (τις εστίες) είναι σταθερή.

Αν $P$ είναι σημείο της υπερβολής, τότε:

$$|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a$$

όπου $2a$ είναι το μήκος του πραγματικού άξονα.

Στοιχεία της Υπερβολής

Κέντρο

Το κέντρο $K$ της υπερβολής είναι το μέσο του τμήματος $F_1F_2$.

Άξονες

• Πραγματικός (εγκάρσιος) άξονας: Μήκος $2a$, περνά από τις εστίες
• Φανταστικός (συζυγής) άξονας: Μήκος $2b$, κάθετος στον πραγματικό

Κορυφές

Οι κορυφές $A_1(-a, 0)$ και $A_2(a, 0)$ είναι τα σημεία τομής με τον πραγματικό άξονα.

Εστίες

Οι εστίες $F_1(-c, 0)$ και $F_2(c, 0)$ βρίσκονται πάνω στον πραγματικό άξονα, όπου:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Προσοχή: Σε αντίθεση με την έλλειψη, εδώ $c > a$.

Εκκεντρότητα

Η εκκεντρότητα της υπερβολής:

$$e = \frac{c}{a}$$

Για την υπερβολή ισχύει πάντα $e > 1$. Όσο μεγαλύτερη η εκκεντρότητα, τόσο πιο «ανοιχτοί» οι κλάδοι.

Ασύμπτωτες

Η υπερβολή έχει δύο ασύμπτωτες - ευθείες που πλησιάζει η καμπύλη στο άπειρο χωρίς ποτέ να τις αγγίζει:

$$y = \pm \frac{b}{a}x$$

Οι ασύμπτωτες περνούν από το κέντρο και σχηματίζουν γωνία $\theta$ με τον πραγματικό άξονα:

$$\tan\theta = \frac{b}{a}$$

Κανονικές Μορφές Εξίσωσης

Υπερβολή με κέντρο στην αρχή

Πραγματικός άξονας κατά τον $x'x$ (οριζόντια υπερβολή):

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

• Κέντρο: $K(0, 0)$
• Κορυφές: $(\pm a, 0)$
• Εστίες: $(\pm c, 0)$ με $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Ασύμπτωτες: $y = \pm \frac{b}{a}x$

Πραγματικός άξονας κατά τον $y'y$ (κατακόρυφη υπερβολή):

$$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$

• Κορυφές: $(0, \pm a)$
• Εστίες: $(0, \pm c)$
• Ασύμπτωτες: $y = \pm \frac{a}{b}x$

Υπερβολή με κέντρο στο $(h, k)$

Οριζόντια:

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

Κατακόρυφη:

$$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$

Ισόπλευρη Υπερβολή

Όταν $a = b$, η υπερβολή λέγεται ισόπλευρη ή ορθογώνια:

$$x^2 - y^2 = a^2$$

Οι ασύμπτωτες είναι κάθετες μεταξύ τους: $y = x$ και $y = -x$

Η εκκεντρότητα της ισόπλευρης υπερβολής είναι $e = \sqrt{2}$.

Διευθετούσες

Όπως η έλλειψη, η υπερβολή έχει δύο διευθετούσες:

$$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^2}{c}$$

Για κάθε σημείο $P$ της υπερβολής:

$$\frac{d(P, F)}{d(P, \delta)} = e$$

Εφαπτομένη της Υπερβολής

Η εφαπτομένη της υπερβολής $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ στο σημείο $(x_0, y_0)$:

$$\frac{x \cdot x_0}{a^2} - \frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1$$

Συζυγείς Υπερβολές

Δύο υπερβολές λέγονται συζυγείς αν έχουν κοινές ασύμπτωτες αλλά διαφορετικούς πραγματικούς άξονες:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{και} \quad \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$

Ανακλαστική Ιδιότητα

Ακτίνα που κατευθύνεται προς τη μία εστία, όταν ανακλαστεί στην υπερβολή, κινείται σαν να προερχόταν από την άλλη εστία.

Παραμετρικές Εξισώσεις

Η υπερβολή μπορεί να περιγραφεί παραμετρικά:

$$x = a\sec\theta = \frac{a}{\cos\theta}, \quad y = b\tan\theta$$

Ή με υπερβολικές συναρτήσεις:

$$x = a\cosh t, \quad y = b\sinh t$$