Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικών

Εισαγωγή

Η τριγωνομετρική (ή πολική) μορφή είναι ένας εναλλακτικός τρόπος έκφρασης μιγαδικών αριθμών που χρησιμοποιεί το μέτρο και το όρισμα αντί για το πραγματικό και φανταστικό μέρος. Αυτή η μορφή διευκολύνει σημαντικά τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση και την ύψωση σε δύναμη.

Από Καρτεσιανή σε Τριγωνομετρική Μορφή

Έστω ο μιγαδικός $z = a + bi$ που αντιστοιχεί στο σημείο $(a, b)$ του μιγαδικού επιπέδου.

Μέτρο (Modulus)

Το μέτρο του $z$ είναι η απόσταση από την αρχή:

$$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Όρισμα (Argument)

Το όρισμα του $z$ (συμβολίζεται $\arg(z)$ ή $\theta$) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα $\vec{Oz}$ με τον θετικό ημιάξονα $x'x$.

Από τις τριγωνομετρικές σχέσεις:

$$\cos\theta = \frac{a}{r}, \quad \sin\theta = \frac{b}{r}$$

Άρα:

$$\tan\theta = \frac{b}{a} \text{ (για } a \neq 0\text{)}$$

Προσοχή: Το $\theta$ δεν καθορίζεται μόνο από την εφαπτομένη. Πρέπει να λάβουμε υπόψη το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το $z$.

Κύριο Όρισμα

Το κύριο όρισμα $\text{Arg}(z)$ περιορίζεται στο διάστημα $(-\pi, \pi]$ ή $[0, 2\pi)$.

Το γενικό όρισμα είναι: $\arg(z) = \text{Arg}(z) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Τριγωνομετρική Μορφή

Αφού $a = r\cos\theta$ και $b = r\sin\theta$, ο μιγαδικός γράφεται:

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

Αυτή είναι η τριγωνομετρική μορφή του $z$.

Συχνά χρησιμοποιείται η συντομογραφία:

$$z = r \cdot \text{cis}\theta$$

όπου $\text{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta$

Μετατροπές

Από Καρτεσιανή σε Τριγωνομετρική

Για $z = a + bi$:

1. Υπολογίζουμε $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
2. Βρίσκουμε $\theta$ ώστε $\cos\theta = \frac{a}{r}$ και $\sin\theta = \frac{b}{r}$

Από Τριγωνομετρική σε Καρτεσιανή

Για $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$:

• $a = r\cos\theta$
• $b = r\sin\theta$

Πράξεις στην Τριγωνομετρική Μορφή

Πολλαπλασιασμός

Για $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ και $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$:

$$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$$

Κανόνας: Πολλαπλασιάζουμε τα μέτρα και προσθέτουμε τα ορίσματα.

Διαίρεση

Για $z_2 \neq 0$:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$$

Κανόνας: Διαιρούμε τα μέτρα και αφαιρούμε τα ορίσματα.

Τύπος του De Moivre

Για κάθε ακέραιο $n$:

$$z^n = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

Ο τύπος του De Moivre είναι εξαιρετικά χρήσιμος για τον υπολογισμό υψηλών δυνάμεων μιγαδικών.

Ρίζες Μιγαδικών

Οι $n$ ρίζες $n$-οστού βαθμού του $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ είναι:

$$z_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right]$$

για $k = 0, 1, 2, ..., n-1$

Ιδιότητες Ριζών

• Υπάρχουν ακριβώς $n$ διαφορετικές ρίζες
• Όλες οι ρίζες έχουν το ίδιο μέτρο $\sqrt[n]{r}$
• Οι ρίζες είναι ισαπέχουσες στο μιγαδικό επίπεδο (σχηματίζουν κανονικό $n$-γωνο)
• Η γωνία μεταξύ διαδοχικών ριζών είναι $\frac{2\pi}{n}$

Συζυγής στην Τριγωνομετρική Μορφή

Αν $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, τότε:

$$\bar{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = r(\cos\theta - i\sin\theta)$$

Δηλαδή ο συζυγής έχει το ίδιο μέτρο και αντίθετο όρισμα.