Εξισώσεις με Μιγαδικούς Αριθμούς

Εισαγωγή

Οι μιγαδικοί αριθμοί επιτρέπουν την επίλυση εξισώσεων που δεν έχουν πραγματικές λύσεις. Σε αυτό το άρθρο θα μελετήσουμε τεχνικές επίλυσης διαφόρων τύπων εξισώσεων στο σύνολο $\mathbb{C}$.

Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας

Κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού $n \geq 1$ με μιγαδικούς συντελεστές έχει ακριβώς $n$ μιγαδικές ρίζες (μετρώντας τις πολλαπλότητες).

Δηλαδή, κάθε πολυώνυμο $P(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} + ... + a_1 z + a_0$ με $a_n \neq 0$ παραγοντοποιείται πλήρως στο $\mathbb{C}$:

$$P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)...(z - z_n)$$

Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις

Η γενική δευτεροβάθμια εξίσωση:

$$az^2 + bz + c = 0$$

με $a, b, c \in \mathbb{R}$ και $a \neq 0$, έχει λύσεις:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Περιπτώσεις ανάλογα με τη Διακρίνουσα

Αν $\Delta > 0$: Δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες

Αν $\Delta = 0$: Μία διπλή πραγματική ρίζα $z = -\frac{b}{2a}$

Αν $\Delta < 0$: Δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:

$$z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$

Σχέσεις Vieta

Για τις ρίζες $z_1, z_2$ της $az^2 + bz + c = 0$:

$$z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$$

$$z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a}$$

Εξισώσεις της Μορφής $z^n = w$

Για να λύσουμε την εξίσωση $z^n = w$ όπου $w = r(\cos\phi + i\sin\phi)$:

Οι $n$ ρίζες είναι:

$$z_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right)\right]$$

για $k = 0, 1, 2, ..., n-1$

Ρίζες της Μονάδας

Οι λύσεις της εξίσωσης $z^n = 1$ ονομάζονται $n$-οστές ρίζες της μονάδας.

Αφού $1 = 1(\cos 0 + i\sin 0)$:

$$\omega_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$$

για $k = 0, 1, ..., n-1$

Ιδιότητες Ριζών της Μονάδας

1. Σχηματίζουν κανονικό $n$-γωνο εγγεγραμμένο στον μοναδιαίο κύκλο
2. Η πρωταρχική ρίζα $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$ γεννά όλες τις άλλες: $\omega_k = \omega^k$
3. Άθροισμα ριζών: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$
4. Γινόμενο ριζών: $\prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n+1}$

Συχνές Ρίζες της Μονάδας

Τετραγωνικές ($n=2$): $z^2 = 1 \Rightarrow z = \pm 1$

Κυβικές ($n=3$): $z^3 = 1 \Rightarrow z = 1, -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Τετραρτοβάθμιες ($n=4$): $z^4 = 1 \Rightarrow z = \pm 1, \pm i$

Εξισώσεις με Συζυγή

Για εξισώσεις που περιέχουν τον συζυγή $\bar{z}$, θέτουμε $z = x + yi$ και λύνουμε σύστημα.

Τεχνική Επίλυσης

1. Θέτουμε $z = x + yi$ με $x, y \in \mathbb{R}$
2. Αντικαθιστούμε $\bar{z} = x - yi$
3. Εξισώνουμε πραγματικά και φανταστικά μέρη
4. Λύνουμε το σύστημα για $x, y$

Πολυωνυμικές Εξισώσεις με Πραγματικούς Συντελεστές

Αν πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές έχει μιγαδική ρίζα $z_0 = a + bi$, τότε και ο συζυγής $\bar{z_0} = a - bi$ είναι επίσης ρίζα.

Συνέπεια: Οι μιγαδικές ρίζες πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη.

Εξισώσεις της Μορφής $|z - a| = r$

Η εξίσωση $|z - a| = r$ (όπου $a \in \mathbb{C}$, $r > 0$) περιγράφει κύκλο με κέντρο $a$ και ακτίνα $r$.

Οι λύσεις είναι άπειρες και σχηματίζουν τον κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο.

Εξισώσεις με Μέτρο

Για εξισώσεις της μορφής $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$:

Αν $z = x + yi$, τότε $|z|^2 = x^2 + y^2$

Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψουμε εξισώσεις με μέτρα σε αλγεβρικές.