Πράξεις Μιγαδικών Αριθμών

Εισαγωγή στις Πράξεις

Οι μιγαδικοί αριθμοί υποστηρίζουν τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Σε αυτό το άρθρο θα μελετήσουμε αναλυτικά κάθε πράξη με τους αλγεβρικούς κανόνες και παραδείγματα.

Πρόσθεση Μιγαδικών

Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί $z_1 = a_1 + b_1 i$ και $z_2 = a_2 + b_2 i$. Το άθροισμά τους ορίζεται ως:

$$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$$

Δηλαδή, προσθέτουμε χωριστά τα πραγματικά μέρη και χωριστά τα φανταστικά μέρη.

Ιδιότητες της Πρόσθεσης

1. Αντιμεταθετική: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$
2. Προσεταιριστική: $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$
3. Ουδέτερο στοιχείο: $z + 0 = z$
4. Αντίθετο: Για κάθε $z = a + bi$, το αντίθετό του είναι $-z = -a - bi$

Αφαίρεση Μιγαδικών

Η αφαίρεση ορίζεται ως πρόσθεση με το αντίθετο:

$$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$$

Αφαιρούμε χωριστά τα πραγματικά και χωριστά τα φανταστικά μέρη.

Πολλαπλασιασμός Μιγαδικών

Ο πολλαπλασιασμός γίνεται εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι $i^2 = -1$:

$$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i)$$

$$= a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2$$

$$= a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i - b_1 b_2$$

$$= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$$

Τύπος Πολλαπλασιασμού

$$z_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$$

Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού

1. Αντιμεταθετική: $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$
2. Προσεταιριστική: $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$
3. Ουδέτερο στοιχείο: $z \cdot 1 = z$
4. Επιμεριστική: $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$

Γινόμενο με Συζυγή

Μια σημαντική ιδιότητα είναι:

$$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$$

Το γινόμενο ενός μιγαδικού με τον συζυγή του είναι πάντα πραγματικός μη αρνητικός αριθμός.

Διαίρεση Μιγαδικών

Η διαίρεση μιγαδικών απαιτεί την εξάλειψη του $i$ από τον παρονομαστή. Αυτό επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i}$$

Πολλαπλασιάζουμε με $\frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}$:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2}$$

Τύπος Διαίρεσης

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}i$$

Αντίστροφος Μιγαδικός

Ο αντίστροφος του $z = a + bi$ (με $z \neq 0$) είναι:

$$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$$

Μέτρο Μιγαδικού

Το μέτρο (ή απόλυτη τιμή) του μιγαδικού $z = a + bi$ ορίζεται ως:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$$

Ιδιότητες του Μέτρου

1. $|z| \geq 0$ και $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
2. $|\bar{z}| = |z|$
3. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
4. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (για $z_2 \neq 0$)
5. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (τριγωνική ανισότητα)

Γεωμετρική Ερμηνεία

Στο μιγαδικό επίπεδο:

• Η πρόσθεση αντιστοιχεί στην πρόσθεση διανυσμάτων
• Το μέτρο $|z|$ είναι η απόσταση του σημείου $z$ από την αρχή των αξόνων
• Η απόσταση μεταξύ $z_1$ και $z_2$ είναι $|z_1 - z_2|$