Ορισμός Μιγαδικών Αριθμών

Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς

Οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούν μια επέκταση των πραγματικών αριθμών που επιτρέπει την επίλυση εξισώσεων που δεν έχουν λύση στο σύνολο των πραγματικών. Η ανάγκη για τους μιγαδικούς αριθμούς προέκυψε από την αδυναμία υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας αρνητικών αριθμών.

Η Φανταστική Μονάδα

Ο θεμέλιος λίθος των μιγαδικών αριθμών είναι η φανταστική μονάδα $i$, η οποία ορίζεται ως:

$$i = \sqrt{-1}$$

Από τον ορισμό αυτό προκύπτει η θεμελιώδης ιδιότητα:

$$i^2 = -1$$

Η φανταστική μονάδα μας επιτρέπει να εκφράσουμε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αρνητικού αριθμού. Για παράδειγμα:

$$\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i$$

Ορισμός Μιγαδικού Αριθμού

Ένας μιγαδικός αριθμός $z$ είναι ένας αριθμός της μορφής:

$$z = a + bi$$

όπου:

• $a$ είναι το πραγματικό μέρος του $z$, και συμβολίζεται $\text{Re}(z) = a$
• $b$ είναι το φανταστικό μέρος του $z$, και συμβολίζεται $\text{Im}(z) = b$
• $a, b \in \mathbb{R}$ (και τα δύο είναι πραγματικοί αριθμοί)

Το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται με $\mathbb{C}$.

Ειδικές Περιπτώσεις

Πραγματικοί Αριθμοί

Αν $b = 0$, τότε $z = a$ είναι πραγματικός αριθμός. Άρα $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

Φανταστικοί Αριθμοί

Αν $a = 0$ και $b \neq 0$, τότε $z = bi$ ονομάζεται καθαρά φανταστικός αριθμός.

Μηδέν

Ο μιγαδικός αριθμός $z = 0 + 0i = 0$ είναι ο μόνος που είναι ταυτόχρονα πραγματικός και καθαρά φανταστικός.

Ισότητα Μιγαδικών

Δύο μιγαδικοί αριθμοί $z_1 = a_1 + b_1 i$ και $z_2 = a_2 + b_2 i$ είναι ίσοι αν και μόνο αν:

$$z_1 = z_2 \Leftrightarrow a_1 = a_2 \text{ και } b_1 = b_2$$

Δηλαδή, δύο μιγαδικοί είναι ίσοι όταν έχουν ίσα πραγματικά και ίσα φανταστικά μέρη.

Συζυγής Μιγαδικός

Ο συζυγής ενός μιγαδικού $z = a + bi$ συμβολίζεται $\bar{z}$ (ή $z^*$) και ορίζεται ως:

$$\bar{z} = a - bi$$

Δηλαδή, ο συζυγής προκύπτει αλλάζοντας το πρόσημο του φανταστικού μέρους.

Ιδιότητες του Συζυγούς

1. $\overline{\bar{z}} = z$
2. $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2a$
3. $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z) = 2bi$
4. $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ (πάντα πραγματικός και μη αρνητικός)
5. $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$
6. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

Δυνάμεις της Φανταστικής Μονάδας

Οι δυνάμεις του $i$ επαναλαμβάνονται κυκλικά με περίοδο 4:

$$i^0 = 1$$

$$i^1 = i$$

$$i^2 = -1$$

$$i^3 = i^2 \cdot i = -i$$

$$i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1$$

$$i^5 = i^4 \cdot i = i$$

Γενικά, για κάθε ακέραιο $n$:

$$i^n = i^{n \mod 4}$$

Γεωμετρική Αναπαράσταση

Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν γεωμετρικά στο μιγαδικό επίπεδο (ή επίπεδο Argand-Gauss):

• Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στο πραγματικό μέρος
• Ο κατακόρυφος άξονας αντιστοιχεί στο φανταστικό μέρος
• Ο μιγαδικός $z = a + bi$ αντιστοιχεί στο σημείο $(a, b)$

Η γεωμετρική αναπαράσταση είναι θεμελιώδης για την κατανόηση της τριγωνομετρικής μορφής και των πράξεων με μιγαδικούς.