Εξίσωση Κύματος

Η Εξίσωση Κύματος

Η εξίσωση κύματος είναι η μαθηματική περιγραφή της απομάκρυνσης κάθε σημείου του μέσου διάδοσης, ως συνάρτηση της θέσης και του χρόνου. Για αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα $x$:

$$y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$$

ή ισοδύναμα:

$$y(x,t) = A \sin\left(\frac{2\pi t}{T} - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi_0\right)$$

Ανάλυση των Παραμέτρων

Πλάτος (A)

Το $A$ καθορίζει τη μέγιστη απομάκρυνση. Είναι πάντα θετικό.

Φάση $(\omega t - kx + \phi_0)$

Η φάση είναι το όρισμα του ημιτόνου και καθορίζει πλήρως την κατάσταση ταλάντωσης κάθε σημείου.

Αρχική Φάση $(\phi_0)$

Η αρχική φάση καθορίζει την κατάσταση της πηγής ($x=0$) τη χρονική στιγμή $t=0$:

• Αν $\phi_0 = 0$: η πηγή ξεκινά από τη θέση ισορροπίας κινούμενη προς τα θετικά
• Αν $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$: η πηγή ξεκινά από τη μέγιστη θετική απομάκρυνση
• Αν $\phi_0 = -\frac{\pi}{2}$: η πηγή ξεκινά από τη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση

Κατεύθυνση Διάδοσης

Κύμα προς τα Θετικά (+x)

$$y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$$

Το αρνητικό πρόσημο μπροστά στο $kx$ υποδηλώνει διάδοση προς τη θετική κατεύθυνση του $x$.

Κύμα προς τα Αρνητικά (-x)

$$y(x,t) = A \sin(\omega t + kx + \phi_0)$$

Το θετικό πρόσημο μπροστά στο $kx$ υποδηλώνει διάδοση προς την αρνητική κατεύθυνση του $x$.

Εναλλακτικές Μορφές της Εξίσωσης

Με Συνημίτονο

$$y(x,t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$$

Ισοδύναμη με τη μορφή ημιτόνου, με διαφορά φάσης $\frac{\pi}{2}$.

Με Χρόνο και Απόσταση

$$y(x,t) = A \sin\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \phi_0\right]$$

Με Ταχύτητα Διάδοσης

$$y(x,t) = A \sin\left[k(\upsilon t - x) + \phi_0\right]$$

ή

$$y(x,t) = A \sin\left[\omega\left(t - \frac{x}{\upsilon}\right) + \phi_0\right]$$

Μερική Διαφορική Εξίσωση Κύματος

Η θεμελιώδης διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη διάδοση κυμάτων είναι:

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \upsilon^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

Αυτή η εξίσωση ισχύει για κάθε είδους κύμα και η λύση της δίνει όλες τις δυνατές κυματομορφές.

Απόδειξη για Αρμονικό Κύμα

Για $y = A\sin(\omega t - kx)$:

$$\frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx)$$

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\omega^2\sin(\omega t - kx)$$

$$\frac{\partial y}{\partial x} = -Ak\cos(\omega t - kx)$$

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -Ak^2\sin(\omega t - kx)$$

Άρα:

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{\omega^2}{k^2} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \upsilon^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

αφού $\upsilon = \frac{\omega}{k}$.

Γραφικές Παραστάσεις

Στιγμιότυπο Κύματος y-x (σε σταθερό t)

Αν κρατήσουμε το χρόνο σταθερό ($t = t_0$), η γραφική παράσταση $y(x)$ δείχνει τη μορφή του κύματος σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή:

$$y(x) = A \sin(\omega t_0 - kx + \phi_0) = A \sin(-kx + \text{σταθ.})$$

Είναι ημιτονοειδής καμπύλη με περίοδο $\lambda$ (μήκος κύματος).

Γραφική y-t (σε σταθερό x)

Αν κρατήσουμε τη θέση σταθερή ($x = x_0$), η γραφική παράσταση $y(t)$ δείχνει πώς ταλαντώνεται ένα συγκεκριμένο σημείο του μέσου:

$$y(t) = A \sin(\omega t - kx_0 + \phi_0) = A \sin(\omega t + \text{σταθ.})$$

Είναι ημιτονοειδής καμπύλη με περίοδο $T$.

Καθυστέρηση Φάσης

Ενα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση $x$ από την πηγή ξεκινά να ταλαντώνεται με χρονική καθυστέρηση:

$$\Delta t = \frac{x}{\upsilon}$$

Αυτό σημαίνει ότι "βλέπει" την κίνηση της πηγής με καθυστέρηση $\Delta t$.