Στάσιμα Κύματα

Τι είναι τα Στάσιμα Κύματα

Τα στάσιμα κύματα σχηματίζονται από τη συμβολή δύο κυμάτων ίσου πλάτους και ίσης συχνότητας που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Σε αντίθεση με τα προοδευτικά κύματα, τα στάσιμα κύματα δεν μεταφέρουν ενέργεια κατά μέσο όρο.

Μαθηματική Περιγραφή

Αν τα δύο κύματα είναι:

$$y_1 = A\sin(\omega t - kx)$$ (προς τα θετικά)

$$y_2 = A\sin(\omega t + kx)$$ (προς τα αρνητικά)

Το συνισταμένο στάσιμο κύμα είναι:

$$y = y_1 + y_2 = 2A\cos(kx)\sin(\omega t)$$

ή γενικότερα:

$$y = 2A\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$

Κόμβοι και Κοιλίες

Κόμβοι (Nodes)

Οι κόμβοι είναι σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα (μηδενική απομάκρυνση). Βρίσκονται στις θέσεις όπου:

$$\cos(kx) = 0 \Rightarrow kx = \frac{(2n+1)\pi}{2}$$

$$x = \frac{(2n+1)\lambda}{4} = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, ...$$

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κόμβων είναι $\frac{\lambda}{2}$.

Κοιλίες (Antinodes)

Οι κοιλίες είναι σημεία μέγιστης ταλάντωσης (πλάτος $2A$). Βρίσκονται στις θέσεις όπου:

$$|\cos(kx)| = 1 \Rightarrow kx = n\pi$$

$$x = \frac{n\lambda}{2} = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \frac{3\lambda}{2}, ...$$

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών είναι επίσης $\frac{\lambda}{2}$.

Η απόσταση μεταξύ διαδοχικού κόμβου και κοιλίας είναι $\frac{\lambda}{4}$.

Στάσιμα Κύματα σε Χορδή

Όταν μια χορδή είναι στερεωμένη και στα δύο άκρα της, μπορούν να σχηματιστούν μόνο στάσιμα κύματα με κόμβους στα άκρα.

Συνθήκη Συντονισμού

Για χορδή μήκους $L$:

$$L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2}$$

όπου $n = 1, 2, 3, ...$ είναι ο αριθμός αρμονικής.

Μήκη Κύματος των Αρμονικών

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}$$

Συχνότητες των Αρμονικών

$$f_n = \frac{\upsilon}{\lambda_n} = n \cdot \frac{\upsilon}{2L} = n \cdot f_1$$

όπου $f_1 = \frac{\upsilon}{2L}$ είναι η θεμελιώδης συχνότητα (1η αρμονική).

Χαρακτηριστικά Αρμονικών

Στάσιμα Κύματα σε Σωλήνα

Σωλήνας Κλειστός στο Ένα Άκρο

Στο κλειστό άκρο σχηματίζεται κόμβος και στο ανοιχτό κοιλία.

$$L = (2n-1) \cdot \frac{\lambda_n}{4} \quad (n = 1, 2, 3, ...)$$

$$f_n = (2n-1) \cdot \frac{\upsilon}{4L} = (2n-1) \cdot f_1$$

Μόνο περιττές αρμονικές ($f_1, 3f_1, 5f_1, ...$) είναι δυνατές.

Σωλήνας Ανοιχτός και στα Δύο Άκρα

Σε κάθε ανοιχτό άκρο σχηματίζεται κοιλία.

$$L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \quad (n = 1, 2, 3, ...)$$

$$f_n = n \cdot \frac{\upsilon}{2L} = n \cdot f_1$$

Όλες οι αρμονικές είναι δυνατές, όπως στη χορδή.

Ενέργεια στα Στάσιμα Κύματα

Στα στάσιμα κύματα η ενέργεια δεν μεταφέρεται κατά μέσο όρο. Αντ' αυτού, μετατρέπεται εναλλάξ μεταξύ κινητικής και δυναμικής ενέργειας:

• Όταν όλα τα σημεία περνούν από τη θέση ισορροπίας: μέγιστη κινητική ενέργεια, μηδενική δυναμική
• Όταν όλα τα σημεία βρίσκονται στη μέγιστη απομάκρυνση: μέγιστη δυναμική ενέργεια, μηδενική κινητική

Φάση στα Στάσιμα Κύματα

Στα στάσιμα κύματα:

• Όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών κόμβων ταλαντώνονται σε φάση
• Σημεία εκατέρωθεν ενός κόμβου ταλαντώνονται σε αντίφαση

Αυτό διαφέρει από τα προοδευτικά κύματα, όπου κάθε σημείο έχει διαφορετική φάση.