Συμβολή Κυμάτων

Αρχή της Επαλληλίας

Όταν δύο ή περισσότερα κύματα συναντώνται στο ίδιο σημείο του χώρου, η συνολική απομάκρυνση είναι το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους απομακρύνσεων. Αυτή είναι η αρχή της επαλληλίας:

$$y_{ολ} = y_1 + y_2 + ... + y_n$$

Η αρχή αυτή ισχύει για γραμμικά μέσα και μικρά πλάτη.

Συμβολή Κυμάτων

Η συμβολή (interference) είναι το φαινόμενο που προκύπτει από την επαλληλία δύο ή περισσότερων κυμάτων. Ανάλογα με τη διαφορά φάσης των κυμάτων, η συμβολή μπορεί να είναι:

Ενισχυτική Συμβολή (Constructive Interference)

Συμβαίνει όταν τα κύματα φτάνουν σε φάση (με διαφορά φάσης $\Delta\phi = 2n\pi$, όπου $n$ ακέραιος).

Το πλάτος του συνισταμένου κύματος είναι μέγιστο:

$$A_{max} = A_1 + A_2$$

Για κύματα ίσου πλάτους: $A_{max} = 2A$

Καταστροφική Συμβολή (Destructive Interference)

Συμβαίνει όταν τα κύματα φτάνουν σε αντίφαση (με διαφορά φάσης $\Delta\phi = (2n+1)\pi$).

Το πλάτος του συνισταμένου κύματος είναι ελάχιστο:

$$A_{min} = |A_1 - A_2|$$

Για κύματα ίσου πλάτους: $A_{min} = 0$ (πλήρης αλληλοεξουδετέρωση)

Διαφορά Δρόμου και Διαφορά Φάσης

Αν δύο κύματα ξεκινούν από διαφορετικές πηγές και φτάνουν σε ένα σημείο έχοντας διανύσει διαφορετικές αποστάσεις, η διαφορά δρόμου $\delta$ (ή $\Delta r$) συνδέεται με τη διαφορά φάσης:

$$\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \delta = k \cdot \delta$$

Συνθήκη Ενισχυτικής Συμβολής

$$\delta = n\lambda \quad (n = 0, \pm1, \pm2, ...)$$

Συνθήκη Καταστροφικής Συμβολής

$$\delta = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda = \frac{(2n+1)\lambda}{2} \quad (n = 0, \pm1, \pm2, ...)$$

Συμβολή Σύμφωνων Πηγών

Δύο πηγές λέγονται σύμφωνες όταν έχουν:

• Την ίδια συχνότητα
• Σταθερή διαφορά φάσης

Μόνο σύμφωνες πηγές μπορούν να δημιουργήσουν σταθερό πρότυπο συμβολής.

Συμβολή Δύο Πηγών Ίσου Πλάτους

Για δύο κύματα:

$$y_1 = A\sin(\omega t - kx_1)$$

$$y_2 = A\sin(\omega t - kx_2)$$

Το συνισταμένο κύμα είναι:

$$y = y_1 + y_2 = 2A\cos\left(\frac{k(x_2 - x_1)}{2}\right)\sin\left(\omega t - \frac{k(x_1 + x_2)}{2}\right)$$

Το πλάτος του συνισταμένου κύματος είναι:

$$A_{συν} = 2A\left|\cos\left(\frac{\pi \delta}{\lambda}\right)\right|$$

όπου $\delta = x_2 - x_1$ είναι η διαφορά δρόμου.

Πρότυπο Συμβολής στο Επίπεδο

Όταν δύο σύμφωνες σημειακές πηγές $S_1$ και $S_2$ εκπέμπουν κύματα, στο επίπεδο δημιουργούνται:

Υπερβολές Μέγιστης Ενίσχυσης

Σημεία όπου $|r_1 - r_2| = n\lambda$

Αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω σε υπερβολές με εστίες τις δύο πηγές.

Υπερβολές Μηδενισμού

Σημεία όπου $|r_1 - r_2| = (n + \frac{1}{2})\lambda$

Σε αυτά τα σημεία τα κύματα αλληλοεξουδετερώνονται.

Συμβολή Φωτός

Πείραμα Young (Διπλή Σχισμή)

Στο κλασικό πείραμα του Young, φως περνά μέσα από δύο στενές σχισμές και δημιουργεί πρότυπο συμβολής σε μια οθόνη.

Θέσεις φωτεινών κροσσών (μέγιστα):

$$x_n = \frac{n\lambda D}{d}$$

Θέσεις σκοτεινών κροσσών (ελάχιστα):

$$x_n = \frac{(2n+1)\lambda D}{2d}$$

όπου:

• $d$ = απόσταση μεταξύ των σχισμών
• $D$ = απόσταση σχισμών-οθόνης
• $n$ = τάξη του κροσσού

Απόσταση διαδοχικών κροσσών:

$$\Delta x = \frac{\lambda D}{d}$$

Ένταση στη Συμβολή

Η ένταση του κύματος είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους:

$$I \propto A^2$$

Για τη συμβολή δύο κυμάτων ίσου πλάτους:

$$I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \delta}{\lambda}\right)$$

όπου $I_0$ η ένταση κάθε κύματος χωριστά.

• Στα μέγιστα: $I_{max} = 4I_0$
• Στα ελάχιστα: $I_{min} = 0$