Φαινόμενο Doppler

Τι είναι το Φαινόμενο Doppler

Το φαινόμενο Doppler είναι η φαινομενική μεταβολή της συχνότητας ενός κύματος όταν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ της πηγής και του παρατηρητή. Ονομάστηκε από τον Αυστριακό φυσικό Christian Doppler που το περιέγραψε το 1842.

Καθημερινά Παραδείγματα

• Η αλλαγή του τόνου της σειρήνας ασθενοφόρου καθώς πλησιάζει και απομακρύνεται
• Η μεταβολή του ήχου κινητήρα αυτοκινήτου σε αγώνα
• Η ερυθρή μετατόπιση του φωτός μακρινών γαλαξιών

Φαινόμενο Doppler για Ήχο

Έστω:

• $\upsilon$ = ταχύτητα ήχου στο μέσο
• $f_s$ = συχνότητα πηγής
• $f$ = συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής
• $\upsilon_s$ = ταχύτητα πηγής
• $\upsilon_o$ = ταχύτητα παρατηρητή

Γενική Εξίσωση Doppler

$$f = f_s \cdot \frac{\upsilon \pm \upsilon_o}{\upsilon \mp \upsilon_s}$$

Κανόνας προσήμων:

• Στον αριθμητή: $+$ αν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή, $-$ αν απομακρύνεται
• Στον παρονομαστή: $-$ αν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή, $+$ αν απομακρύνεται

Ειδικές Περιπτώσεις

Ακίνητος Παρατηρητής ($\upsilon_o = 0$)

Πηγή πλησιάζει:

$$f = f_s \cdot \frac{\upsilon}{\upsilon - \upsilon_s}$$

Η συχνότητα αυξάνεται ($f > f_s$) - ο ήχος γίνεται πιο οξύς.

Πηγή απομακρύνεται:

$$f = f_s \cdot \frac{\upsilon}{\upsilon + \upsilon_s}$$

Η συχνότητα μειώνεται ($f < f_s$) - ο ήχος γίνεται πιο βαρύς.

Ακίνητη Πηγή ($\upsilon_s = 0$)

Παρατηρητής πλησιάζει:

$$f = f_s \cdot \frac{\upsilon + \upsilon_o}{\upsilon}$$

Παρατηρητής απομακρύνεται:

$$f = f_s \cdot \frac{\upsilon - \upsilon_o}{\upsilon}$$

Κίνηση στην Ίδια Ευθεία (Αλληλοπλησίαση)

$$f = f_s \cdot \frac{\upsilon + \upsilon_o}{\upsilon - \upsilon_s}$$

Κίνηση στην Ίδια Ευθεία (Αλληλοαπομάκρυνση)

$$f = f_s \cdot \frac{\upsilon - \upsilon_o}{\upsilon + \upsilon_s}$$

Μεταβολή Μήκους Κύματος

Όταν η πηγή κινείται, μεταβάλλεται και το μήκος κύματος:

Πηγή πλησιάζει:

$$\lambda' = \lambda - \frac{\upsilon_s}{f_s} = \lambda\left(1 - \frac{\upsilon_s}{\upsilon}\right)$$

Πηγή απομακρύνεται:

$$\lambda' = \lambda + \frac{\upsilon_s}{f_s} = \lambda\left(1 + \frac{\upsilon_s}{\upsilon}\right)$$

Φαινόμενο Doppler για Φως

Για ηλεκτρομαγνητικά κύματα (φως), η εξίσωση είναι διαφορετική επειδή δεν απαιτείται μέσο διάδοσης και η θεωρία της σχετικότητας πρέπει να ληφθεί υπόψη.

Διαμήκης Σχετικιστική Εξίσωση

$$f = f_s \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$ (απομάκρυνση)

$$f = f_s \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$ (προσέγγιση)

όπου $\beta = \frac{\upsilon}{c}$ και $\upsilon$ η σχετική ταχύτητα.

Μη-Σχετικιστική Προσέγγιση ($\upsilon << c$)

Για μικρές ταχύτητες:

$$\frac{\Delta f}{f_s} \approx \frac{\upsilon}{c}$$

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda_s} \approx \frac{\upsilon}{c}$$

Ερυθρή και Κυανή Μετατόπιση

• Ερυθρή μετατόπιση (redshift): Όταν η πηγή απομακρύνεται, η συχνότητα μειώνεται και το μήκος κύματος αυξάνεται (μετατόπιση προς το κόκκινο).
• Κυανή μετατόπιση (blueshift): Όταν η πηγή πλησιάζει, η συχνότητα αυξάνεται και το μήκος κύματος μειώνεται (μετατόπιση προς το μπλε).

Εφαρμογές του Φαινομένου Doppler

Ραντάρ Ταχύτητας

Μετρά την ταχύτητα οχημάτων αναλύοντας τη μεταβολή συχνότητας των ανακλώμενων κυμάτων.

Αστρονομία

Μέτρηση ταχυτήτων αστέρων και γαλαξιών. Η ερυθρή μετατόπιση απέδειξε τη διαστολή του σύμπαντος.

Ιατρική (Υπερηχογράφημα Doppler)

Μέτρηση ταχύτητας ροής αίματος σε αγγεία.

Μετεωρολογία

Τα ραντάρ Doppler μετρούν την ταχύτητα των ανέμων σε καταιγίδες.

Κρουστικά Κύματα (Sonic Boom)

Όταν η ταχύτητα της πηγής υπερβεί την ταχύτητα του ήχου ($\upsilon_s > \upsilon$), δημιουργείται κρουστικό κύμα (shock wave) με χαρακτηριστικό κώνο.

Αριθμός Mach:

$$M = \frac{\upsilon_s}{\upsilon}$$

Ημιγωνία κώνου:

$$\sin\theta = \frac{\upsilon}{\upsilon_s} = \frac{1}{M}$$

Για $M > 1$ (υπερηχητική ταχύτητα), ο παρατηρητής ακούει έντονο κρότο (sonic boom) όταν τον προσπεράσει ο κώνος.