Πράξεις Συνόλων

Πράξεις μεταξύ Συνόλων

Οι πράξεις μεταξύ συνόλων μας επιτρέπουν να δημιουργούμε νέα σύνολα από υπάρχοντα. Οι βασικές πράξεις είναι η ένωση, η τομή, η διαφορά και το συμπλήρωμα.

Ένωση Συνόλων

Η ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$, συμβολίζεται $A \cup B$, είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο $A$ ή στο $B$ ή και στα δύο:

$$A \cup B = \{x : x \in A \text{ ή } x \in B\}$$

Ιδιότητες της Ένωσης:

• Αντιμεταθετική: $A \cup B = B \cup A$
• Προσεταιριστική: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
• Ταυτοτική: $A \cup \emptyset = A$
• Απορροφητική: $A \cup A = A$
• Αν $A \subseteq B$, τότε $A \cup B = B$

Τομή Συνόλων

Η τομή δύο συνόλων $A$ και $B$, συμβολίζεται $A \cap B$, είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στο $A$ και στο $B$:

$$A \cap B = \{x : x \in A \text{ και } x \in B\}$$

Ιδιότητες της Τομής:

• Αντιμεταθετική: $A \cap B = B \cap A$
• Προσεταιριστική: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
• Ταυτοτική: $A \cap U = A$ (όπου $U$ το καθολικό σύνολο)
• Απορροφητική: $A \cap A = A$
• $A \cap \emptyset = \emptyset$
• Αν $A \subseteq B$, τότε $A \cap B = A$

Ξένα Σύνολα

Δύο σύνολα $A$ και $B$ ονομάζονται ξένα (ή ασύμβατα) αν δεν έχουν κοινά στοιχεία:

$$A \cap B = \emptyset$$

Διαφορά Συνόλων

Η διαφορά του συνόλου $A$ από το σύνολο $B$, συμβολίζεται $A - B$ ή $A \setminus B$, είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν στο $A$ αλλά δεν ανήκουν στο $B$:

$$A - B = \{x : x \in A \text{ και } x \notin B\}$$

Σημείωση: Γενικά $A - B \neq B - A$ (η διαφορά δεν είναι αντιμεταθετική).

Συμπλήρωμα Συνόλου

Έστω $U$ το καθολικό σύνολο και $A \subseteq U$. Το συμπλήρωμα του $A$ ως προς το $U$, συμβολίζεται $A'$ ή $A^c$ ή $\overline{A}$, είναι:

$$A' = U - A = \{x \in U : x \notin A\}$$

Ιδιότητες του Συμπληρώματος:

• $(A')' = A$
• $A \cup A' = U$
• $A \cap A' = \emptyset$
• $U' = \emptyset$
• $\emptyset' = U$

Νόμοι De Morgan

Οι νόμοι του De Morgan συνδέουν την ένωση, την τομή και το συμπλήρωμα:

$$(A \cup B)' = A' \cap B'$$

$$(A \cap B)' = A' \cup B'$$

Δηλαδή: το συμπλήρωμα της ένωσης ισούται με την τομή των συμπληρωμάτων, και το συμπλήρωμα της τομής ισούται με την ένωση των συμπληρωμάτων.

Επιμεριστικές Ιδιότητες

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$

Καρτεσιανό Γινόμενο

Το Καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων $A$ και $B$, συμβολίζεται $A \times B$, είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών $(a, b)$ όπου $a \in A$ και $b \in B$:

$$A \times B = \{(a, b) : a \in A \text{ και } b \in B\}$$

Αν $|A| = m$ και $|B| = n$, τότε $|A \times B| = m \cdot n$.