Λογικές Πράξεις

Οι Βασικοί Λογικοί Σύνδεσμοι

Οι λογικοί σύνδεσμοι (ή λογικές πράξεις) χρησιμοποιούνται για να συνδυάσουμε απλές προτάσεις και να δημιουργήσουμε σύνθετες προτάσεις.

Άρνηση (NOT)

Η άρνηση μιας πρότασης $p$ , συμβολίζεται $\neg p$ (ή $\overline{p}$ ή $!p$ ), είναι η πρόταση "όχι $p$ ".

Πίνακας Αληθείας:

$p$	$\neg p$
Α	Ψ
Ψ	Α

Η άρνηση αντιστρέφει την τιμή αληθείας της πρότασης.

Σύζευξη (AND)

Η σύζευξη δύο προτάσεων $p$ και $q$ , συμβολίζεται $p \land q$ (ή $p \cdot q$ ), είναι αληθής μόνο όταν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.

Πίνακας Αληθείας:

$p$	$q$	$p \land q$
Α	Α	Α
Α	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Ψ
Ψ	Ψ	Ψ

Διάζευξη (OR)

Η διάζευξη δύο προτάσεων $p$ και $q$ , συμβολίζεται $p \lor q$ (ή $p + q$ ), είναι αληθής όταν τουλάχιστον μία από τις δύο προτάσεις είναι αληθής.

Πίνακας Αληθείας:

$p$	$q$	$p \lor q$
Α	Α	Α
Α	Ψ	Α
Ψ	Α	Α
Ψ	Ψ	Ψ

Αποκλειστική Διάζευξη (XOR)

Η αποκλειστική διάζευξη $p \oplus q$ (ή $p$ XOR $q$ ) είναι αληθής όταν ακριβώς μία από τις δύο προτάσεις είναι αληθής.

Πίνακας Αληθείας:

$p$	$q$	$p \oplus q$
Α	Α	Ψ
Α	Ψ	Α
Ψ	Α	Α
Ψ	Ψ	Ψ

Συνεπαγωγή (Implication)

Η συνεπαγωγή $p \Rightarrow q$ (διαβάζεται "αν $p$ τότε $q$ ") είναι ψευδής μόνο όταν η υπόθεση $p$ είναι αληθής και το συμπέρασμα $q$ είναι ψευδές.

Πίνακας Αληθείας:

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
Α	Α	Α
Α	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Α
Ψ	Ψ	Α

Σημαντική Παρατήρηση: Όταν η υπόθεση είναι ψευδής, η συνεπαγωγή είναι πάντα αληθής ("κενή αλήθεια").

Σχετιζόμενες Προτάσεις:

Αντίστροφη: $q \Rightarrow p$
Αντίθετη: $\neg p \Rightarrow \neg q$
Αντιθετοαντίστροφη: $\neg q \Rightarrow \neg p$ (ισοδύναμη με την αρχική)

Διπλή Συνεπαγωγή (Biconditional)

Η διπλή συνεπαγωγή $p \Leftrightarrow q$ (διαβάζεται " $p$ αν και μόνο αν $q$ ") είναι αληθής όταν οι δύο προτάσεις έχουν την ίδια τιμή αληθείας.

Πίνακας Αληθείας:

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
Α	Α	Α
Α	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Ψ
Ψ	Ψ	Α

Ιδιότητες Λογικών Πράξεων

Αντιμεταθετική:

$p \land q \equiv q \land p$
$p \lor q \equiv q \lor p$

Προσεταιριστική:

$(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$
$(p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)$

Επιμεριστική:

$p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$
$p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$

Νόμοι Ταυτότητας:

$p \land \text{Α} \equiv p$
$p \lor \text{Ψ} \equiv p$

Νόμοι Κυριαρχίας:

$p \land \text{Ψ} \equiv \text{Ψ}$
$p \lor \text{Α} \equiv \text{Α}$

Λογικές Πράξεις

Οι Βασικοί Λογικοί Σύνδεσμοι

Άρνηση (NOT)

Σύζευξη (AND)

Διάζευξη (OR)

Αποκλειστική Διάζευξη (XOR)

Συνεπαγωγή (Implication)

Διπλή Συνεπαγωγή (Biconditional)

Ιδιότητες Λογικών Πράξεων

Βασικοί Τύποι

Παραδείγματα

Σχετικά Θέματα

Λογικές Πράξεις

Οι Βασικοί Λογικοί Σύνδεσμοι

Άρνηση (NOT)

Σύζευξη (AND)

Διάζευξη (OR)

Αποκλειστική Διάζευξη (XOR)

Συνεπαγωγή (Implication)

Διπλή Συνεπαγωγή (Biconditional)

Ιδιότητες Λογικών Πράξεων

Βασικοί Τύποι

Παραδείγματα

Σχετικά Θέματα