Γωνιακή Μετατόπιση

Εισαγωγή στη Γωνιακή Μετατόπιση

Η γωνιακή μετατόπιση είναι το βασικό μέγεθος που περιγράφει την κίνηση ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. Αντιστοιχεί στην έννοια της μετατόπισης στην ευθύγραμμη κίνηση, αλλά εκφράζει τη γωνία που διαγράφει το σώμα κατά την περιστροφή του.

Ορισμός

Η γωνιακή μετατόπιση ($\Delta\theta$ ή $\theta$) είναι η γωνία που διαγράφει η ακτίνα που συνδέει το περιστρεφόμενο σώμα με τον άξονα περιστροφής, κατά τη διάρκεια της κίνησης.

$$\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$$

όπου $\theta_1$ η αρχική γωνιακή θέση και $\theta_2$ η τελική γωνιακή θέση.

Μονάδες Μέτρησης

Η γωνιακή μετατόπιση μετριέται σε:

• Ακτίνια (rad): Η βασική μονάδα στο SI
• Μοίρες (°): Ευρέως χρησιμοποιούμενη μονάδα
• Περιστροφές (rev): Για πλήρεις κύκλους

Μετατροπές:

$$1\text{ rev} = 2\pi\text{ rad} = 360°$$

$$1\text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°$$

Σχέση με Γραμμική Μετατόπιση

Για ένα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση $r$ από τον άξονα περιστροφής, η σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής μετατόπισης είναι:

$$s = r \cdot \theta$$

όπου:

• $s$: το μήκος τόξου (γραμμική μετατόπιση κατά μήκος της περιφέρειας)
• $r$: η ακτίνα (απόσταση από τον άξονα)
• $\theta$: η γωνιακή μετατόπιση σε ακτίνια

Σημαντικό: Η σχέση $s = r\theta$ ισχύει μόνο όταν η γωνία $\theta$ εκφράζεται σε ακτίνια!

Διανυσματικός Χαρακτήρας

Η γωνιακή μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος για μικρές γωνίες. Η διεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού:

Αν τα δάχτυλα του δεξιού χεριού ακολουθούν τη φορά περιστροφής, ο αντίχειρας δείχνει τη διεύθυνση του διανύσματος $\vec{\theta}$ (κατά μήκος του άξονα περιστροφής).

Περιοδική Κίνηση

Για ομαλή κυκλική κίνηση με περίοδο $T$ και συχνότητα $f$:

$$\theta = \omega t$$

όπου $\omega$ η γωνιακή ταχύτητα.

Για μία πλήρη περιστροφή:

$$\theta = 2\pi\text{ rad}$$

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$

Θετική και Αρνητική Γωνιακή Μετατόπιση

• Θετική ($\Delta\theta > 0$): Περιστροφή αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού (αντιωρολογιακά)
• Αρνητική ($\Delta\theta < 0$): Περιστροφή κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (ωρολογιακά)

Η σύμβαση αυτή ακολουθεί το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.