Γωνιακή Επιτάχυνση

Εισαγωγή στη Γωνιακή Επιτάχυνση

Η γωνιακή επιτάχυνση περιγράφει πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα ενός περιστρεφόμενου σώματος. Αντιστοιχεί στην επιτάχυνση της ευθύγραμμης κίνησης και είναι απαραίτητη για τη μελέτη της μη ομαλής περιστροφικής κίνησης.

Ορισμός

Μέση Γωνιακή Επιτάχυνση

Η μέση γωνιακή επιτάχυνση ($\alpha_{\mu}$ ή $\bar{\alpha}$) ορίζεται ως ο λόγος της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας προς το χρονικό διάστημα:

$$\alpha_{\mu} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1}$$

Στιγμιαία Γωνιακή Επιτάχυνση

Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση ($\alpha$) είναι το όριο της μέσης γωνιακής επιτάχυνσης όταν $\Delta t \to 0$:

$$\alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt}$$

Επειδή $\omega = \frac{d\theta}{dt}$, η γωνιακή επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της γωνιακής θέσης:

$$\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

Μονάδες Μέτρησης

Η μονάδα της γωνιακής επιτάχυνσης στο SI είναι:

$$[\alpha] = \frac{\text{rad}}{\text{s}^2} = \text{rad/s}^2$$

Διανυσματικός Χαρακτήρας

Η γωνιακή επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος:

$$\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$$

Το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ έχει διεύθυνση παράλληλη στον άξονα περιστροφής:

• Αν $\vec{\alpha}$ έχει την ίδια φορά με $\vec{\omega}$: η περιστροφή επιταχύνεται
• Αν $\vec{\alpha}$ έχει αντίθετη φορά από $\vec{\omega}$: η περιστροφή επιβραδύνεται

Σχέση με Γραμμική Επιτάχυνση

Για ένα σημείο σε απόσταση $r$ από τον άξονα περιστροφής:

Εφαπτομενική Επιτάχυνση

$$a_t = \alpha \cdot r$$

Η εφαπτομενική επιτάχυνση είναι υπεύθυνη για τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας.

Κεντρομόλος Επιτάχυνση

$$a_c = \omega^2 \cdot r = \frac{v^2}{r}$$

Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι υπεύθυνη για τη μεταβολή της διεύθυνσης της ταχύτητας.

Συνολική Επιτάχυνση

$$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = r\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$$

Ομαλά Επιταχυνόμενη Κυκλική Κίνηση

Όταν η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή ($\alpha = \text{σταθερό}$), έχουμε:

$$\omega = \omega_0 + \alpha t$$

$$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$

$$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$$

Όπου:

• $\omega_0$: αρχική γωνιακή ταχύτητα
• $\omega$: τελική γωνιακή ταχύτητα
• $\theta_0$: αρχική γωνιακή θέση
• $\theta$: τελική γωνιακή θέση

Αντιστοιχία με Ευθύγραμμη Κίνηση