Ρίζες Πολυωνύμων

Εισαγωγή στις Ρίζες Πολυωνύμων

Οι ρίζες (ή μηδενικά) ενός πολυωνύμου $P(x)$ είναι οι τιμές του $x$ για τις οποίες $P(x) = 0$. Η εύρεση των ριζών είναι ένα από τα κεντρικά προβλήματα της Άλγεβρας και έχει εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και των επιστημών.

Βασικές Έννοιες

Ορισμός Ρίζας

Ένας αριθμός $r$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)$ αν:

$$P(r) = 0$$

Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας

Κάθε πολυώνυμο βαθμού $n \geq 1$ με μιγαδικούς συντελεστές έχει ακριβώς $n$ μιγαδικές ρίζες (μετρώντας την πολλαπλότητα).

Πολλαπλότητα Ρίζας

Αν $(x - r)^k$ διαιρεί το $P(x)$ αλλά $(x - r)^{k+1}$ δεν το διαιρεί, τότε η $r$ είναι ρίζα με πολλαπλότητα $k$.

• $k = 1$: απλή ρίζα
• $k = 2$: διπλή ρίζα
• $k = 3$: τριπλή ρίζα

Θεώρημα Παράγοντα

Το $r$ είναι ρίζα του $P(x)$ αν και μόνο αν το $(x - r)$ είναι παράγοντας του $P(x)$:

$$P(r) = 0 \Leftrightarrow (x - r) \mid P(x)$$

Παράδειγμα 1

Έστω $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

Ελέγχουμε αν $x = 1$ είναι ρίζα:

$$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$$

Άρα $(x - 1)$ είναι παράγοντας και μπορούμε να γράψουμε:

$$P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$$

Οι ρίζες είναι: $x = 1, 3, -2$

Θεώρημα Ρητών Ριζών

Για πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

Αν $\frac{p}{q}$ είναι ρητή ρίζα (με $\gcd(p, q) = 1$), τότε:

• $p$ διαιρεί τον σταθερό όρο $a_0$
• $q$ διαιρεί τον αρχικό συντελεστή $a_n$

Παράδειγμα 2

Να βρεθούν οι ρητές ρίζες του $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.

Διαιρέτες του $a_0 = 6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Διαιρέτες του $a_n = 2$: $\pm 1, \pm 2$

Πιθανές ρητές ρίζες: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$

Ελέγχουμε:

• $P(1) = 2 - 3 - 11 + 6 = -6 \neq 0$
• $P(-1) = -2 - 3 + 11 + 6 = 12 \neq 0$
• $P(2) = 16 - 12 - 22 + 6 = -12 \neq 0$
• $P(3) = 54 - 27 - 33 + 6 = 0$ ✓
• $P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{11}{2} + 6 = 0$ ✓
• $P(-2) = -16 - 12 + 22 + 6 = 0$ ✓

Οι ρητές ρίζες είναι: $x = 3, \frac{1}{2}, -2$

Σχέσεις Vieta (Τύποι του Viète)

Οι σχέσεις Vieta συνδέουν τις ρίζες ενός πολυωνύμου με τους συντελεστές του.

Για Δευτεροβάθμιο Πολυώνυμο

Αν $x_1, x_2$ είναι οι ρίζες του $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Για Τριτοβάθμιο Πολυώνυμο

Αν $x_1, x_2, x_3$ είναι οι ρίζες του $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$$

Γενική Μορφή για $n$-οστού Βαθμού

Για $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ με ρίζες $r_1, r_2, \ldots, r_n$:

$$\sum_{i=1}^{n} r_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$

$$\sum_{1 \leq i < j \leq n} r_i r_j = \frac{a_{n-2}}{a_n}$$

$$\prod_{i=1}^{n} r_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$$

Παράδειγμα 3: Εφαρμογή Σχέσεων Vieta

Αν $x_1, x_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^2 - 5x + 3 = 0$, να υπολογιστούν:

a) $x_1 + x_2$

b) $x_1 \cdot x_2$

c) $x_1^2 + x_2^2$

d) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Λύση:

a) $x_1 + x_2 = 5$

b) $x_1 \cdot x_2 = 3$

c) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25 - 6 = 19$

d) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{5}{3}$

Κατασκευή Πολυωνύμου από τις Ρίζες

Αν γνωρίζουμε τις ρίζες $r_1, r_2, \ldots, r_n$ ενός πολυωνύμου:

$$P(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)$$

Παράδειγμα 4

Να βρεθεί πολυώνυμο με ρίζες $2, -1, 3$.

$$P(x) = (x - 2)(x + 1)(x - 3)$$

$$= (x - 2)(x^2 - 2x - 3)$$

$$= x^3 - 4x^2 + x + 6$$

Συζυγείς Ρίζες

Για Πολυώνυμα με Πραγματικούς Συντελεστές

Αν $a + bi$ (με $b \neq 0$) είναι ρίζα, τότε και η συζυγής $a - bi$ είναι ρίζα.

Παράδειγμα 5

Αν $2 + 3i$ είναι ρίζα πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές, τότε και $2 - 3i$ είναι ρίζα.

Ο αντίστοιχος τετραγωνικός παράγοντας είναι:

$$(x - (2+3i))(x - (2-3i)) = (x-2)^2 + 9 = x^2 - 4x + 13$$

Πρόσημο Ριζών - Κανόνας Descartes

Ο αριθμός των θετικών πραγματικών ριζών είναι ίσος με τον αριθμό των αλλαγών προσήμου στους συντελεστές, ή μικρότερος κατά άρτιο αριθμό.

Για τις αρνητικές ρίζες, εφαρμόζουμε τον κανόνα στο $P(-x)$.

Παράδειγμα 6

$$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$

Συντελεστές: $+1, -2, -5, +6$

Αλλαγές προσήμου: $+$ σε $-$, $-$ σε $+$ → 2 αλλαγές

Άρα: 2 ή 0 θετικές ρίζες.

$$P(-x) = -x^3 - 2x^2 + 5x + 6$$

Συντελεστές: $-1, -2, +5, +6$

Αλλαγές προσήμου: $-$ σε $+$ → 1 αλλαγή

Άρα: ακριβώς 1 αρνητική ρίζα.

Ενδιάμεσων Τιμών για Εύρεση Ριζών

Αν $P(a) \cdot P(b) < 0$ (διαφορετικά πρόσημα), τότε υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(a, b)$.

Παράδειγμα 7

$$P(x) = x^3 - x - 1$$

$P(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$

$P(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$

Άρα υπάρχει ρίζα στο $(1, 2)$.

Μέθοδος Newton-Raphson (Επαναληπτική)

Για προσέγγιση ρίζας:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}$$

Παράδειγμα 8

Για $P(x) = x^3 - x - 1$, με $P'(x) = 3x^2 - 1$ και $x_0 = 1.5$:

$$x_1 = 1.5 - \frac{(1.5)^3 - 1.5 - 1}{3(1.5)^2 - 1} = 1.5 - \frac{0.875}{5.75} \approx 1.3478$$

$$x_2 \approx 1.3252$$

Η πραγματική ρίζα είναι $x \approx 1.3247$

Άθροισμα Δυνάμεων Ριζών

Αν $S_k = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k$, τότε με τις αναδρομικές σχέσεις Newton:

$$S_k + \frac{a_{n-1}}{a_n} S_{k-1} + \cdots = 0$$

Για δευτεροβάθμιο $x^2 + px + q = 0$:

$$S_k = -p \cdot S_{k-1} - q \cdot S_{k-2}$$

Παράδειγμα 9

Για $x^2 - 3x + 2 = 0$ (ρίζες $1, 2$):

$S_0 = 2$, $S_1 = 3$

$S_2 = 3 \cdot S_1 - 2 \cdot S_0 = 9 - 4 = 5$ (πράγματι: $1^2 + 2^2 = 5$)

$S_3 = 3 \cdot S_2 - 2 \cdot S_1 = 15 - 6 = 9$ (πράγματι: $1^3 + 2^3 = 9$)