Διαίρεση Πολυωνύμων

Εισαγωγή στη Διαίρεση Πολυωνύμων

Η διαίρεση πολυωνύμων είναι μια θεμελιώδης διαδικασία που μας επιτρέπει να εκφράσουμε ένα πολυώνυμο ως γινόμενο δύο άλλων πολυωνύμων συν ένα υπόλοιπο. Αυτή η διαδικασία είναι ανάλογη με την Ευκλείδεια διαίρεση των ακεραίων.

Ευκλείδεια Διαίρεση Πολυωνύμων

Για δύο πολυώνυμα $P(x)$ (διαιρετέος) και $D(x)$ (διαιρέτης), με $D(x) \neq 0$, υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα $Q(x)$ (πηλίκο) και $R(x)$ (υπόλοιπο) τέτοια ώστε:

$$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$$

όπου $\deg(R) < \deg(D)$ ή $R(x) = 0$.

Μέθοδος Μακράς Διαίρεσης

Η μακρά διαίρεση πολυωνύμων ακολουθεί παρόμοια βήματα με τη διαίρεση ακεραίων.

Βήματα Μακράς Διαίρεσης

1. Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο όρο του διαιρέτη
2. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με όλο τον διαιρέτη
3. Αφαιρούμε από τον διαιρετέο
4. Επαναλαμβάνουμε με το νέο πολυώνυμο μέχρι ο βαθμός του υπολοίπου να είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη

Παράδειγμα 1: Μακρά Διαίρεση

Να διαιρεθεί το $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 7$ με το $D(x) = x + 2$.

Βήμα 1: Διαιρούμε $2x^3 : x = 2x^2$

Βήμα 2: $2x^2 \cdot (x + 2) = 2x^3 + 4x^2$

Βήμα 3: $(2x^3 + 3x^2) - (2x^3 + 4x^2) = -x^2$

Φέρνουμε κάτω τον $-5x$: $-x^2 - 5x$

Βήμα 4: Διαιρούμε $-x^2 : x = -x$

Βήμα 5: $-x \cdot (x + 2) = -x^2 - 2x$

Βήμα 6: $(-x^2 - 5x) - (-x^2 - 2x) = -3x$

Φέρνουμε κάτω το $+7$: $-3x + 7$

Βήμα 7: Διαιρούμε $-3x : x = -3$

Βήμα 8: $-3 \cdot (x + 2) = -3x - 6$

Βήμα 9: $(-3x + 7) - (-3x - 6) = 13$

Αποτέλεσμα:

$$2x^3 + 3x^2 - 5x + 7 = (x + 2)(2x^2 - x - 3) + 13$$

Πηλίκο: $Q(x) = 2x^2 - x - 3$, Υπόλοιπο: $R = 13$

Συνθετική Διαίρεση (Σχήμα Horner)

Η συνθετική διαίρεση είναι μια συντομευμένη μέθοδος που χρησιμοποιείται όταν ο διαιρέτης είναι της μορφής $(x - c)$.

Βήματα Συνθετικής Διαίρεσης

1. Γράφουμε τους συντελεστές του διαιρετέου σε σειρά
2. Γράφουμε την τιμή $c$ (αν διαιρούμε με $x - c$)
3. Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή
4. Πολλαπλασιάζουμε με $c$ και προσθέτουμε στον επόμενο συντελεστή
5. Επαναλαμβάνουμε μέχρι το τέλος
6. Ο τελευταίος αριθμός είναι το υπόλοιπο

Παράδειγμα 2: Συνθετική Διαίρεση

Να διαιρεθεί το $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + 4$ με το $(x - 2)$.

Συντελεστές: $3, -2, 1, -5, 4$ και $c = 2$

    3   -2    1   -5    4  │ 2
        6     8   18   26
    ─────────────────────────
    3    4    9   13   30

Επεξήγηση:

• Κατεβάζουμε το $3$
• $3 \cdot 2 = 6$, προσθέτουμε: $-2 + 6 = 4$
• $4 \cdot 2 = 8$, προσθέτουμε: $1 + 8 = 9$
• $9 \cdot 2 = 18$, προσθέτουμε: $-5 + 18 = 13$
• $13 \cdot 2 = 26$, προσθέτουμε: $4 + 26 = 30$

Αποτέλεσμα:

$$P(x) = (x - 2)(3x^3 + 4x^2 + 9x + 13) + 30$$

Πηλίκο: $Q(x) = 3x^3 + 4x^2 + 9x + 13$, Υπόλοιπο: $R = 30$

Θεώρημα Υπολοίπου

Όταν ένα πολυώνυμο $P(x)$ διαιρείται με $(x - c)$, το υπόλοιπο είναι ίσο με $P(c)$.

$$P(x) = (x - c) \cdot Q(x) + P(c)$$

Παράδειγμα Εφαρμογής

Για $P(x) = x^3 - 4x + 2$ και διαιρέτη $(x - 3)$:

$$P(3) = 27 - 12 + 2 = 17$$

Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι $17$.

Θεώρημα Παράγοντα

Το $(x - c)$ είναι παράγοντας του $P(x)$ αν και μόνο αν $P(c) = 0$.

Παράδειγμα

Έστω $P(x) = x^3 - 7x + 6$. Να ελεγχθεί αν το $(x - 1)$ είναι παράγοντας.

$$P(1) = 1 - 7 + 6 = 0$$

Επειδή $P(1) = 0$, το $(x - 1)$ είναι παράγοντας του $P(x)$.

Διαίρεση με Πολυώνυμο Δεύτερου Βαθμού

Παράδειγμα 3

Να διαιρεθεί το $P(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3x - 5$ με το $D(x) = x^2 + x - 1$.

Βήμα 1: $x^4 : x^2 = x^2$

$x^2 \cdot (x^2 + x - 1) = x^4 + x^3 - x^2$

Αφαίρεση: $(x^4 + 2x^3 - x^2) - (x^4 + x^3 - x^2) = x^3$

Βήμα 2: $x^3 : x^2 = x$

$x \cdot (x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x$

Αφαίρεση: $(x^3 + 3x) - (x^3 + x^2 - x) = -x^2 + 4x$

Βήμα 3: $-x^2 : x^2 = -1$

$-1 \cdot (x^2 + x - 1) = -x^2 - x + 1$

Αφαίρεση: $(-x^2 + 4x - 5) - (-x^2 - x + 1) = 5x - 6$

Αποτέλεσμα:

$$P(x) = (x^2 + x - 1)(x^2 + x - 1) + (5x - 6)$$

Πηλίκο: $Q(x) = x^2 + x - 1$, Υπόλοιπο: $R(x) = 5x - 6$

Εφαρμογές της Διαίρεσης

Απλοποίηση Ρητών Εκφράσεων

$$\frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$$

Εύρεση Παραγόντων

Αν γνωρίζουμε μία ρίζα $r$ ενός πολυωνύμου, μπορούμε να βρούμε τους υπόλοιπους παράγοντες διαιρώντας με $(x - r)$.

Παράδειγμα 4

Έστω $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ με ρίζα $x = 1$.

Διαιρούμε με $(x - 1)$ (συνθετική διαίρεση με $c = 1$):

    1   -6   11   -6  │ 1
         1   -5    6
    ───────────────────
    1   -5    6    0

$$P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$$