Διαιρετότητα

Εισαγωγή στη Διαιρετότητα

Η διαιρετότητα είναι μία από τις θεμελιώδεις έννοιες της Θεωρίας Αριθμών και αφορά τη σχέση μεταξύ ακεραίων αριθμών όταν ο ένας «χωρά» ακριβώς στον άλλον.

Ορισμός Διαιρετότητας

Ορισμός: Έστω $a, b \in \mathbb{Z}$ με $b \neq 0$. Λέμε ότι ο $b$ διαιρεί τον $a$ (ή ο $a$ διαιρείται με τον $b$) αν υπάρχει ακέραιος $k$ τέτοιος ώστε:

$$a = b \cdot k$$

Συμβολίζουμε: $b \mid a$ (ο $b$ διαιρεί τον $a$)

Αν ο $b$ δεν διαιρεί τον $a$, γράφουμε: $b \nmid a$

Βασικές Ιδιότητες Διαιρετότητας

Για ακεραίους $a, b, c$ ισχύουν:

1. Ανακλαστική: $a \mid a$ για κάθε $a \neq 0$
2. Μεταβατική: Αν $a \mid b$ και $b \mid c$, τότε $a \mid c$
3. Γραμμικός Συνδυασμός: Αν $c \mid a$ και $c \mid b$, τότε $c \mid (ma + nb)$ για κάθε $m, n \in \mathbb{Z}$
4. Πολλαπλασιασμός: Αν $a \mid b$, τότε $a \mid (b \cdot c)$ για κάθε $c \in \mathbb{Z}$
5. Απόλυτη Τιμή: Αν $a \mid b$ και $b \neq 0$, τότε $|a| \leq |b|$

Κριτήρια Διαιρετότητας

Διαιρετότητα με το 2

Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιο (0, 2, 4, 6, 8).

Διαιρετότητα με το 3

Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

Διαιρετότητα με το 4

Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρείται με το 4.

Διαιρετότητα με το 5

Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.

Διαιρετότητα με το 6

Ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.

Διαιρετότητα με το 9

Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Διαιρετότητα με το 11

Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν η διαφορά του αθροίσματος των ψηφίων σε περιττές θέσεις μείον το άθροισμα των ψηφίων σε άρτιες θέσεις διαιρείται με το 11.

Ευκλείδεια Διαίρεση

Θεώρημα (Ευκλείδεια Διαίρεση): Για κάθε $a \in \mathbb{Z}$ και $b \in \mathbb{Z}^+$, υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι $q$ (πηλίκο) και $r$ (υπόλοιπο) τέτοιοι ώστε:

$$a = b \cdot q + r \quad \text{με} \quad 0 \leq r < b$$

Ο $r$ ονομάζεται υπόλοιπο της διαίρεσης του $a$ με τον $b$.

Παρατήρηση: $b \mid a$ αν και μόνο αν $r = 0$.