Ορισμός Λογαρίθμου

Εισαγωγή στους Λογαρίθμους

Ο λογάριθμος είναι μία από τις πιο σημαντικές μαθηματικές έννοιες που θα συναντήσετε στο λύκειο και στις πανελλήνιες εξετάσεις. Αποτελεί την αντίστροφη πράξη της εκθετικής συνάρτησης και έχει πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά, τη φυσική και άλλες επιστήμες.

Ο Ορισμός του Λογαρίθμου

Έστω $\alpha > 0$, $\alpha \neq 1$ και $\beta > 0$. Ο λογάριθμος του $\beta$ με βάση το $\alpha$ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί η βάση $\alpha$ για να δώσει τον αριθμό $\beta$.

Συμβολίζεται:

$$\log_{\alpha}\beta = x \Leftrightarrow \alpha^x = \beta$$

Όπου:

• $\alpha$ είναι η βάση του λογαρίθμου (με $\alpha > 0$ και $\alpha \neq 1$)
• $\beta$ είναι το όρισμα ή αριθμός του λογαρίθμου (με $\beta > 0$)
• $x$ είναι η τιμή του λογαρίθμου

Γιατί η Βάση δεν Μπορεί να Είναι 1;

Αν $\alpha = 1$, τότε $1^x = 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση $1^x = \beta$ θα είχε:

• Άπειρες λύσεις αν $\beta = 1$
• Καμία λύση αν $\beta \neq 1$

Για αυτό απαιτούμε $\alpha \neq 1$.

Γιατί το Όρισμα Πρέπει να Είναι Θετικό;

Αν $\alpha > 0$ και $\alpha \neq 1$, τότε $\alpha^x > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση $\alpha^x = \beta$ έχει λύση μόνο όταν $\beta > 0$.

Η Σχέση Λογαρίθμου και Εκθετικής Συνάρτησης

Ο λογάριθμος και η εκθετική συνάρτηση είναι αντίστροφες συναρτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι:

$$\alpha^{\log_{\alpha}\beta} = \beta \quad \text{για κάθε } \beta > 0$$

$$\log_{\alpha}(\alpha^x) = x \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}$$

Αυτές οι δύο σχέσεις είναι θεμελιώδεις και χρησιμοποιούνται συχνά στην επίλυση εξισώσεων.

Βασικές Τιμές Λογαρίθμων

Από τον ορισμό προκύπτουν αμέσως οι παρακάτω βασικές τιμές:

$$\log_{\alpha}1 = 0 \quad \text{διότι } \alpha^0 = 1$$

$$\log_{\alpha}\alpha = 1 \quad \text{διότι } \alpha^1 = \alpha$$

$$\log_{\alpha}\alpha^n = n \quad \text{διότι } \alpha^n = \alpha^n$$

Συνηθισμένες Βάσεις Λογαρίθμων

Δεκαδικός Λογάριθμος

Ο λογάριθμος με βάση το 10 ονομάζεται δεκαδικός ή κοινός λογάριθμος και συμβολίζεται:

$$\log_{10}\beta = \log\beta$$

Φυσικός Λογάριθμος

Ο λογάριθμος με βάση τον αριθμό $e \approx 2.71828$ ονομάζεται φυσικός λογάριθμος και συμβολίζεται:

$$\log_{e}\beta = \ln\beta$$

Πεδίο Ορισμού

Για να υπάρχει ο $\log_{\alpha}\beta$, πρέπει:

• $\alpha > 0$ και $\alpha \neq 1$ (συνθήκη για τη βάση)
• $\beta > 0$ (συνθήκη για το όρισμα)

Στις ασκήσεις, συχνά ζητείται να βρεθεί το πεδίο ορισμού εκφράσεων που περιέχουν λογαρίθμους. Πρέπει πάντα να ελέγχουμε ότι το όρισμα είναι θετικό.