Ιδιότητες Ορίων

Βασικές Ιδιότητες των Ορίων

Οι ιδιότητες των ορίων μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε σύνθετα όρια χρησιμοποιώντας απλούστερα. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για τον υπολογισμό ορίων στην πράξη.

Προϋπόθεση

Σε όλα τα παρακάτω υποθέτουμε ότι:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{και} \quad \lim_{x \to a} g(x) = M$$

όπου $L, M \in \mathbb{R}$.

Αριθμητικές Πράξεις με Όρια

1. Όριο Σταθεράς

$$\lim_{x \to a} c = c$$

για κάθε σταθερά $c \in \mathbb{R}$.

2. Όριο της Ταυτοτικής Συνάρτησης

$$\lim_{x \to a} x = a$$

3. Άθροισμα και Διαφορά

$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$$

Το όριο αθροίσματος (ή διαφοράς) ισούται με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των ορίων.

4. Γινόμενο

$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$

Το όριο γινομένου ισούται με το γινόμενο των ορίων.

5. Πολλαπλασιασμός με Σταθερά

$$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$$

για κάθε σταθερά $c \in \mathbb{R}$.

6. Πηλίκο

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad \text{εφόσον } M \neq 0$$

Το όριο πηλίκου ισούται με το πηλίκο των ορίων, αρκεί ο παρονομαστής να μην τείνει στο μηδέν.

7. Δύναμη

$$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$$

για κάθε $n \in \mathbb{N}$.

8. Ρίζα

$$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$$

για $n$ περιττό ή για $n$ άρτιο με $L \geq 0$.

Ιδιότητες με Άπειρο

Όταν τα όρια περιλαμβάνουν το άπειρο, ισχύουν οι εξής κανόνες:

Πράξεις με $+\infty$

• $L + (+\infty) = +\infty$ για $L \in \mathbb{R}$
• $(+\infty) + (+\infty) = +\infty$
• $L \cdot (+\infty) = +\infty$ για $L > 0$
• $L \cdot (+\infty) = -\infty$ για $L < 0$
• $(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$
• $\frac{L}{+\infty} = 0$ για $L \in \mathbb{R}$

Πράξεις με $-\infty$

• $L + (-\infty) = -\infty$ για $L \in \mathbb{R}$
• $(-\infty) + (-\infty) = -\infty$
• $L \cdot (-\infty) = -\infty$ για $L > 0$
• $L \cdot (-\infty) = +\infty$ για $L < 0$
• $(+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$

Θεώρημα Παρεμβολής (Sandwich Theorem)

Αν για κάθε $x$ κοντά στο $a$ ισχύει:

$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$

και

$$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$$

τότε:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

Αυτό το θεώρημα είναι εξαιρετικά χρήσιμο όταν δεν μπορούμε να υπολογίσουμε απευθείας ένα όριο.

Θεώρημα Διατήρησης Προσήμου

Αν $\lim_{x \to a} f(x) = L > 0$, τότε υπάρχει $\delta > 0$ ώστε:

$$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > 0$$

Δηλαδή, αν το όριο είναι θετικό, η συνάρτηση είναι θετική κοντά στο $a$.

Θεώρημα Σύγκρισης

Αν κοντά στο $a$ ισχύει $f(x) \leq g(x)$ και τα όρια υπάρχουν, τότε:

$$\lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x)$$

Όριο Σύνθετης Συνάρτησης

Αν $\lim_{x \to a} g(x) = b$ και η $f$ είναι συνεχής στο $b$, τότε:

$$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(b)$$

Θεμελιώδη Όρια

Υπάρχουν ορισμένα βασικά όρια που χρησιμοποιούνται συχνά:

Τριγωνομετρικό Θεμελιώδες Όριο

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

Από αυτό προκύπτει:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Εκθετικό Θεμελιώδες Όριο

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

Λογαριθμικό Θεμελιώδες Όριο

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$