Συστήματα Ανισώσεων

Εισαγωγή στα Συστήματα Ανισώσεων

Τα συστήματα ανισώσεων αποτελούνται από δύο ή περισσότερες ανισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα. Η λύση ενός συστήματος είναι η τομή των λύσεων όλων των ανισώσεων.

Ορισμός

Ένα σύστημα ανισώσεων με μία μεταβλητή έχει τη μορφή:

$$\begin{cases} f_1(x) > 0 \\ f_2(x) > 0 \\ \vdots \\ f_n(x) > 0 \end{cases}$$

Η λύση είναι: $S = S_1 \cap S_2 \cap \ldots \cap S_n$

Μέθοδος Επίλυσης (Μία Μεταβλητή)

Βήμα 1: Λύση Κάθε Ανισώσης

Λύνουμε κάθε ανισώση ξεχωριστά και βρίσκουμε το σύνολο λύσεων.

Βήμα 2: Εύρεση Τομής

Η λύση του συστήματος είναι η τομή όλων των συνόλων λύσεων.

Βήμα 3: Γραφική Αναπαράσταση (Προαιρετικά)

Σχεδιάζουμε τα διαστήματα στον αριθμητικό άξονα και βρίσκουμε την κοινή περιοχή.

Συστήματα με Μία Μεταβλητή

Παράδειγμα 1: Σύστημα Πρωτοβάθμιων Ανισώσεων

Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ 4 - x \geq 0 \end{cases}$$

Λύση:

Πρώτη ανισώση:

$$2x - 3 > 1 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$$

$$S_1 = (2, +\infty)$$

Δεύτερη ανισώση:

$$4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$$

$$S_2 = (-\infty, 4]$$

Τομή:

$$S = S_1 \cap S_2 = (2, +\infty) \cap (-\infty, 4] = (2, 4]$$

Παράδειγμα 2: Σύστημα με Τρεις Ανισώσεις

Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 6 < 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{cases}$$

Λύση:

$$x > -1 \Rightarrow S_1 = (-1, +\infty)$$

$$2x < 6 \Rightarrow x < 3 \Rightarrow S_2 = (-\infty, 3)$$

$$x \geq 1 \Rightarrow S_3 = [1, +\infty)$$

Τομή:

$$S = S_1 \cap S_2 \cap S_3 = [1, 3)$$

Παράδειγμα 3: Σύστημα με Δευτεροβάθμια Ανισώση

Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$$

Λύση:

Πρώτη ανισώση:

$$x^2 - 4 < 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) < 0 \Rightarrow -2 < x < 2$$

$$S_1 = (-2, 2)$$

Δεύτερη ανισώση:

$$x > -1 \Rightarrow S_2 = (-1, +\infty)$$

Τομή:

$$S = (-2, 2) \cap (-1, +\infty) = (-1, 2)$$

Παράδειγμα 4: Σύστημα Χωρίς Λύση

Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} x > 5 \\ x < 2 \end{cases}$$

Λύση:

$$S_1 = (5, +\infty)$$

$$S_2 = (-\infty, 2)$$

$$S = S_1 \cap S_2 = \varnothing$$

Το σύστημα είναι αδύνατο.

Συστήματα με Δύο Μεταβλητές

Τα συστήματα ανισώσεων με δύο μεταβλητές $x$ και $y$ έχουν γραφική λύση στο επίπεδο.

Γραφική Επίλυση

Βήμα 1: Σχεδιάζουμε την ευθεία (ή καμπύλη) που αντιστοιχεί στην ισότητα.

Βήμα 2: Σκιάζουμε το ημιεπίπεδο που ικανοποιεί την ανισώση.

Βήμα 3: Η λύση του συστήματος είναι η κοινή σκιασμένη περιοχή.

Κανόνας για Γραμμικές Ανισώσεις

Για την ανισώση $ax + by + c > 0$:

• Επιλέγουμε ένα σημείο εκτός της ευθείας (συνήθως το $(0,0)$ αν δεν ανήκει στην ευθεία)
• Αντικαθιστούμε στην ανισώση
• Αν ικανοποιείται, σκιάζουμε την πλευρά του σημείου
• Αν δεν ικανοποιείται, σκιάζουμε την αντίθετη πλευρά

Παράδειγμα 5: Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

Να βρεθεί γραφικά η λύση του συστήματος:

$$\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x - y \leq 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

Λύση:

Ευθεία 1: $x + y = 4$

Σημεία: $(0, 4)$ και $(4, 0)$

Για $(0, 0)$: $0 + 0 = 0 \leq 4$ (αληθές), άρα σκιάζουμε προς την αρχή.

Ευθεία 2: $x - y = 2$

Σημεία: $(0, -2)$ και $(2, 0)$

Για $(0, 0)$: $0 - 0 = 0 \leq 2$ (αληθές), άρα σκιάζουμε προς την αρχή.

Ευθεία 3: $x = 0$ (άξονας $y$)

Σκιάζουμε δεξιά (όπου $x \geq 0$).

Ευθεία 4: $y = 0$ (άξονας $x$)

Σκιάζουμε πάνω (όπου $y \geq 0$).

Περιοχή λύσεων: Τετράπλευρο με κορυφές $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(3, 1)$, $(0, 4)$.

Παράδειγμα 6: Σύστημα με Μη Γραμμική Ανισώση

Να βρεθεί γραφικά η λύση του συστήματος:

$$\begin{cases} y \leq x^2 \\ y \geq x \end{cases}$$

Λύση:

Καμπύλη 1: $y = x^2$ (παραβολή)

Σκιάζουμε κάτω από την παραβολή (όπου $y \leq x^2$).

Ευθεία 2: $y = x$

Σκιάζουμε πάνω από την ευθεία (όπου $y \geq x$).

Σημεία τομής:

$x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0$ ή $x = 1$

Περιοχή λύσεων: Η περιοχή μεταξύ της ευθείας $y = x$ και της παραβολής $y = x^2$ για $0 \leq x \leq 1$.

Εφαρμογές: Γραμμικός Προγραμματισμός

Τα συστήματα ανισώσεων χρησιμοποιούνται στον γραμμικό προγραμματισμό για τη βελτιστοποίηση.

Παράδειγμα 7: Πρόβλημα Βελτιστοποίησης

Μια εταιρεία παράγει δύο προϊόντα $A$ και $B$. Για την παραγωγή απαιτούνται:

• Προϊόν $A$: 2 ώρες εργασίας, 3 kg υλικού
• Προϊόν $B$: 4 ώρες εργασίας, 2 kg υλικού

Διαθέσιμα: 100 ώρες εργασίας, 90 kg υλικού.

Κέρδος: 30 ευρώ για $A$, 40 ευρώ για $B$.

Να μεγιστοποιηθεί το κέρδος.

Μαθηματικό Μοντέλο:

Έστω $x$ = μονάδες προϊόντος $A$, $y$ = μονάδες προϊόντος $B$.

Περιορισμοί:

$$\begin{cases} 2x + 4y \leq 100 & \text{(ώρες εργασίας)} \\ 3x + 2y \leq 90 & \text{(υλικό)} \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

Αντικειμενική συνάρτηση: $P = 30x + 40y$ (μέγιστο)

Επίλυση:

Η βέλτιστη λύση βρίσκεται σε κορυφή της περιοχής εφικτών λύσεων.

Κορυφές: $(0, 0)$, $(30, 0)$, $(20, 15)$, $(0, 25)$

Μέγιστο κέρδος: 1200 ευρώ για $x = 20$, $y = 15$.

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Η τομή διαστημάτων μπορεί να είναι κενό σύνολο (αδύνατο σύστημα).
2. Στη γραφική μέθοδο, προσέχουμε αν η ευθεία συμπεριλαμβάνεται (συμπαγής γραμμή) ή όχι (διακεκομμένη).
3. Οι κορυφές της περιοχής λύσεων βρίσκονται στις τομές των ευθειών.
4. Στον γραμμικό προγραμματισμό, η βέλτιστη λύση βρίσκεται πάντα σε κορυφή.

Συνήθη Λάθη

1. Ξεχνάμε να πάρουμε τομή αντί για ένωση.
2. Λάθος σκίαση στη γραφική μέθοδο.
3. Παράλειψη περιορισμών μη αρνητικότητας ($x \geq 0$, $y \geq 0$).
4. Λάθος υπολογισμός σημείων τομής ευθειών.