Δευτεροβάθμιες Ανισώσεις

Εισαγωγή στις Δευτεροβάθμιες Ανισώσεις

Οι δευτεροβάθμιες ανισώσεις είναι ανισότητες που περιέχουν τον άγνωστο $x$ σε δεύτερη δύναμη. Η επίλυσή τους βασίζεται στη μελέτη προσήμου του τριωνύμου.

Γενική Μορφή

Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας ανισώσης είναι:

$$ax^2 + bx + c > 0 \quad (\text{ή} < 0, \geq 0, \leq 0)$$

όπου $a \neq 0$ και $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Μέθοδος Επίλυσης: Μελέτη Προσήμου

Η επίλυση βασίζεται στον υπολογισμό της διακρίνουσας $\Delta = b^2 - 4ac$ και στη μελέτη του προσήμου του τριωνύμου.

Βήμα 1: Υπολογισμός Διακρίνουσας

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Βήμα 2: Εύρεση Ριζών (αν υπάρχουν)

• Αν $\Delta > 0$: Δύο διαφορετικές ρίζες $x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Αν $\Delta = 0$: Μία διπλή ρίζα $x_0 = -\frac{b}{2a}$
• Αν $\Delta < 0$: Καμία πραγματική ρίζα

Βήμα 3: Πίνακας Προσήμου

Το πρόσημο του $ax^2 + bx + c$ εξαρτάται από:

1. Το πρόσημο του $a$ (συντελεστής του $x^2$)
2. Τις ρίζες του τριωνύμου

Κανόνες Προσήμου Τριωνύμου

Περίπτωση 1: $\Delta > 0$ (δύο ρίζες $x_1 < x_2$)

Κανόνας: Το τριώνυμο έχει πρόσημο ίδιο με το $a$ έξω από τις ρίζες και αντίθετο μεταξύ των ριζών.

Περίπτωση 2: $\Delta = 0$ (διπλή ρίζα $x_0$)

Το τριώνυμο γράφεται $a(x - x_0)^2$ και έχει:

• Πάντα το πρόσημο του $a$ για $x \neq x_0$
• Μηδενίζεται μόνο στο $x = x_0$

Περίπτωση 3: $\Delta < 0$ (καμία ρίζα)

Το τριώνυμο έχει πάντα το πρόσημο του $a$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: $\Delta > 0$ με $a > 0$

Να λυθεί η ανισώση: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Λύση:

$$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$$

$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Επειδή $a = 1 > 0$, το τριώνυμο είναι θετικό έξω από τις ρίζες:

$$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$

Παράδειγμα 2: $\Delta > 0$ με $a < 0$

Να λυθεί η ανισώση: $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$

Λύση:

$$\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$$

$$x_1 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3$$

Επειδή $a = -1 < 0$, το τριώνυμο είναι μη αρνητικό μεταξύ των ριζών (συμπεριλαμβανομένων):

$$x \in [1, 3]$$

Παράδειγμα 3: $\Delta = 0$

Να λυθεί η ανισώση: $x^2 - 6x + 9 \leq 0$

Λύση:

$$\Delta = 36 - 36 = 0$$

$$x_0 = \frac{6}{2} = 3$$

Το τριώνυμο είναι $(x - 3)^2 \geq 0$ για κάθε $x$.

Άρα $(x - 3)^2 \leq 0$ ισχύει μόνο όταν $(x - 3)^2 = 0$:

$$x = 3$$

Παράδειγμα 4: $\Delta < 0$

Να λυθεί η ανισώση: $x^2 + 2x + 5 > 0$

Λύση:

$$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$$

Επειδή $a = 1 > 0$ και $\Delta < 0$, το τριώνυμο είναι πάντα θετικό:

$$x \in \mathbb{R}$$

Παράδειγμα 5: Σύνθετη Ανισώση

Να λυθεί η ανισώση: $2x^2 - 3x - 2 < 0$

Λύση:

$$\Delta = 9 + 16 = 25 > 0$$

$$x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$$

Επειδή $a = 2 > 0$, το τριώνυμο είναι αρνητικό μεταξύ των ριζών:

$$x \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$$

Παράδειγμα 6: Ανισώση που Ανάγεται σε Δευτεροβάθμια

Να λυθεί η ανισώση: $(x - 1)(x + 3) \leq 5$

Λύση:

Αναπτύσσουμε:

$$x^2 + 2x - 3 \leq 5$$

$$x^2 + 2x - 8 \leq 0$$

$$\Delta = 4 + 32 = 36 > 0$$

$$x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$

Άρα: $x \in [-4, 2]$

Γραφική Ερμηνεία

Η γραφική παράσταση της $f(x) = ax^2 + bx + c$ είναι παραβολή:

• Αν $a > 0$: Παραβολή με κοιλότητα προς τα πάνω (U)
• Αν $a < 0$: Παραβολή με κοιλότητα προς τα κάτω (∩)

Η ανισώση $ax^2 + bx + c > 0$ ζητά τα $x$ για τα οποία η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$.

Συνοπτικός Πίνακας

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Πάντα φέρνουμε την ανισώση στη μορφή $ax^2 + bx + c \gtrless 0$.
2. Το πρόσημο του $a$ είναι κρίσιμο για τον προσδιορισμό του προσήμου.
3. Προσοχή στα σύμβολα $\leq$ και $\geq$: συμπεριλαμβάνουν τις ρίζες.
4. Η παραγοντοποίηση διευκολύνει όταν είναι δυνατή.