Κύκλοι

Εισαγωγή στους Κύκλους

Ο κύκλος είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο, το κέντρο. Αυτή η απόσταση ονομάζεται ακτίνα.

Βασικά Στοιχεία του Κύκλου

Ακτίνα (r)

Η απόσταση από το κέντρο $O$ σε οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας.

Διάμετρος (d)

Η χορδή που περνάει από το κέντρο. Η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας:

$$d = 2r$$

Χορδή

Ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία της περιφέρειας. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή.

Τόξο

Τμήμα της περιφέρειας μεταξύ δύο σημείων.

Τομέας

Το τμήμα του κύκλου που ορίζεται από δύο ακτίνες και το τόξο μεταξύ τους.

Τμήμα (χορδοτόξο)

Το τμήμα του κύκλου που ορίζεται από μια χορδή και το αντίστοιχο τόξο.

Περιφέρεια Κύκλου

Η περιφέρεια (μήκος) του κύκλου υπολογίζεται με τον τύπο:

$$C = 2\pi r = \pi d$$

Όπου $\pi \approx 3.14159$ είναι η μαθηματική σταθερά που εκφράζει το λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο κάθε κύκλου.

Εμβαδόν Κύκλου

Το εμβαδόν (επιφάνεια) του κύκλου δίνεται από:

$$E = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$$

Τόξα και Γωνίες

Μήκος Τόξου

Το μήκος τόξου που αντιστοιχεί σε κεντρική γωνία $\theta$ (σε ακτίνια):

$$L = r \cdot \theta$$

Αν η γωνία είναι σε μοίρες:

$$L = \frac{\pi r \theta}{180°}$$

Κεντρική Γωνία

Γωνία με κορυφή στο κέντρο του κύκλου. Μια κεντρική γωνία είναι ίση με το τόξο που βλέπει.

Εγγεγραμμένη Γωνία

Γωνία με κορυφή στην περιφέρεια. Μια εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό του τόξου που βλέπει:

$$\text{Εγγεγραμμένη γωνία} = \frac{\text{Τόξο}}{2}$$

Εμβαδόν Κυκλικού Τομέα

Το εμβαδόν κυκλικού τομέα με κεντρική γωνία $\theta$ (σε ακτίνια):

$$E_{\text{τομέα}} = \frac{1}{2} r^2 \theta$$

Αν η γωνία είναι σε μοίρες:

$$E_{\text{τομέα}} = \frac{\pi r^2 \theta}{360°}$$

Εμβαδόν Κυκλικού Τμήματος

Το εμβαδόν κυκλικού τμήματος (χορδοτόξου) με κεντρική γωνία $\theta$ (σε ακτίνια):

$$E_{\text{τμήματος}} = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin\theta)$$

Εφαπτομένη Κύκλου

Η εφαπτομένη είναι ευθεία που αγγίζει τον κύκλο σε ακριβώς ένα σημείο. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο επαφής.

Χορδές και Αποστάσεις

Απόσταση Χορδής από το Κέντρο

Αν $d$ είναι η απόσταση της χορδής από το κέντρο και $c$ το μήκος της χορδής:

$$c = 2\sqrt{r^2 - d^2}$$

Ίσες Χορδές

Ίσες χορδές απέχουν ίσες αποστάσεις από το κέντρο.

Δύναμη Σημείου

Αν από σημείο $P$ φέρουμε τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο στα σημεία $A$ και $B$:

$$PA \cdot PB = |d^2 - r^2|$$

όπου $d$ η απόσταση του $P$ από το κέντρο.

Εξίσωση Κύκλου

Η εξίσωση κύκλου με κέντρο $(h, k)$ και ακτίνα $r$:

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

Για κύκλο με κέντρο την αρχή:

$$x^2 + y^2 = r^2$$