Τετράπλευρα

Εισαγωγή στα Τετράπλευρα

Το τετράπλευρο είναι πολύγωνο με τέσσερις κορυφές, τέσσερις πλευρές και τέσσερις γωνίες. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360°$$

Παραλληλόγραμμα

Ορισμός

Παραλληλόγραμμο είναι το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Ιδιότητες Παραλληλογράμμου

• Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες: $AB = CD$ και $BC = DA$
• Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες: $\hat{A} = \hat{C}$ και $\hat{B} = \hat{D}$
• Οι διαγώνιοι διχοτομούνται
• Οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές: $\hat{A} + \hat{B} = 180°$

Εμβαδόν Παραλληλογράμμου

$$E = \beta \cdot h$$

όπου $\beta$ η βάση και $h$ το αντίστοιχο ύψος.

Επίσης: $E = a \cdot b \cdot \sin\theta$, όπου $a$, $b$ διαδοχικές πλευρές και $\theta$ η μεταξύ τους γωνία.

Ορθογώνιο

Ορισμός

Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες ορθές ($90°$).

Ιδιότητες Ορθογωνίου

• Όλες οι γωνίες είναι $90°$
• Οι διαγώνιοι είναι ίσες και διχοτομούνται
• Διαγώνιος: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ (από Πυθαγόρειο θεώρημα)

Εμβαδόν Ορθογωνίου

$$E = a \cdot b$$

όπου $a$ και $b$ οι δύο διαστάσεις (μήκος και πλάτος).

Περίμετρος Ορθογωνίου

$$P = 2(a + b)$$

Τετράγωνο

Ορισμός

Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες. Είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος.

Ιδιότητες Τετραγώνου

• Όλες οι πλευρές ίσες: $a = b = c = d$
• Όλες οι γωνίες ορθές
• Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες και διχοτομούνται
• Διαγώνιος: $d = a\sqrt{2}$

Εμβαδόν Τετραγώνου

$$E = a^2 = \frac{d^2}{2}$$

όπου $a$ η πλευρά και $d$ η διαγώνιος.

Περίμετρος Τετραγώνου

$$P = 4a$$

Ρόμβος

Ορισμός

Ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.

Ιδιότητες Ρόμβου

• Όλες οι πλευρές ίσες
• Οι απέναντι γωνίες ίσες
• Οι διαγώνιοι είναι κάθετες και διχοτομούνται
• Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες

Εμβαδόν Ρόμβου

$$E = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

όπου $d_1$ και $d_2$ οι διαγώνιοι.

Επίσης: $E = a^2 \cdot \sin\theta$, όπου $a$ η πλευρά και $\theta$ μία γωνία.

Τραπέζιο

Ορισμός

Το τραπέζιο είναι τετράπλευρο με δύο μόνο παράλληλες πλευρές (τις βάσεις).

Είδη Τραπεζίων

• Ισοσκελές τραπέζιο: Οι μη παράλληλες πλευρές (σκέλη) είναι ίσες
• Ορθογώνιο τραπέζιο: Έχει δύο ορθές γωνίες

Ιδιότητες Ισοσκελούς Τραπεζίου

• Οι γωνίες στην ίδια βάση είναι ίσες
• Οι διαγώνιοι είναι ίσες

Εμβαδόν Τραπεζίου

$$E = \frac{(B + \beta) \cdot h}{2}$$

όπου $B$ η μεγάλη βάση, $\beta$ η μικρή βάση και $h$ το ύψος.

Μέση Παράλληλος Τραπεζίου

Η μέση παράλληλος συνδέει τα μέσα των σκελών και έχει μήκος:

$$m = \frac{B + \beta}{2}$$

Γενικό Τετράπλευρο

Για κυρτό τετράπλευρο με διαγωνίους $d_1$ και $d_2$ που σχηματίζουν γωνία $\theta$:

$$E = \frac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\theta}{2}$$

Ιεραρχία Τετραπλεύρων

Τα ειδικά τετράπλευρα συνδέονται ιεραρχικά:

• Το τετράγωνο είναι ειδική περίπτωση ρόμβου και ορθογωνίου
• Ο ρόμβος και το ορθογώνιο είναι ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου
• Το παραλληλόγραμμο είναι ειδική περίπτωση τραπεζίου