Συνάρτηση Απόλυτης Τιμής

Εισαγωγή στην Απόλυτη Τιμή

Η απόλυτη τιμή είναι μια θεμελιώδης έννοια στα μαθηματικά που εκφράζει την "απόσταση" ενός αριθμού από το μηδέν στην αριθμογραμμή, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο. Η συνάρτηση απόλυτης τιμής έχει πολλές εφαρμογές στην ανάλυση, τη φυσική και την οικονομία, ειδικά όταν μας ενδιαφέρει το μέγεθος μιας ποσότητας και όχι η κατεύθυνσή της.

Ορισμός της Απόλυτης Τιμής

Ορισμός: Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού $x$, που συμβολίζεται με $|x|$, ορίζεται ως:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{αν } x \geq 0 \\ -x, & \text{αν } x < 0 \end{cases}$$

Γεωμετρική ερμηνεία: Η $|x|$ είναι η απόσταση του $x$ από το $0$ στην αριθμογραμμή.

Παραδείγματα:

• $|5| = 5$
• $|-3| = -(-3) = 3$
• $|0| = 0$

Η Συνάρτηση Απόλυτης Τιμής

Η συνάρτηση απόλυτης τιμής είναι η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο:

$$f(x) = |x|$$

Πεδίο Ορισμού: $D_f = \mathbb{R}$

Σύνολο Τιμών: $f(\mathbb{R}) = [0, +\infty)$

Τμηματικός Ορισμός

Η συνάρτηση $f(x) = |x|$ είναι μια τμηματικά ορισμένη συνάρτηση:

$$f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{αν } x \geq 0 \\ -x, & \text{αν } x < 0 \end{cases}$$

Αυτό σημαίνει ότι:

• Για $x \geq 0$: η γραφική παράσταση είναι η ευθεία $y = x$
• Για $x < 0$: η γραφική παράσταση είναι η ευθεία $y = -x$

Γραφική Παράσταση

Η γραφική παράσταση της $f(x) = |x|$ έχει σχήμα "V".

Χαρακτηριστικά:

• Κορυφή στο σημείο $(0, 0)$
• Συμμετρική ως προς τον άξονα $y$ (άρτια συνάρτηση)
• Αποτελείται από δύο ημιευθείες με κλίσεις $1$ και $-1$
• Γωνία στο σημείο $(0, 0)$

Ιδιότητες της Απόλυτης Τιμής

Για όλα τα $x, y \in \mathbb{R}$:

1. Μη αρνητικότητα: $|x| \geq 0$ και $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
2. Συμμετρία: $|-x| = |x|$ (άρτια συνάρτηση)
3. Πολλαπλασιασμός: $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$
4. Διαίρεση: $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$, για $y \neq 0$
5. Τριγωνική ανισότητα: $|x + y| \leq |x| + |y|$
6. Αντίστροφη τριγωνική: $||x| - |y|| \leq |x - y|$
7. Τετράγωνο: $|x|^2 = x^2$
8. Ρίζα: $\sqrt{x^2} = |x|$

Εξισώσεις με Απόλυτη Τιμή

Βασικές μορφές:

Τύπος 1: $|x| = a$ (με $a \geq 0$)

$$|x| = a \Leftrightarrow x = a \text{ ή } x = -a$$

Τύπος 2: $|f(x)| = a$ (με $a \geq 0$)

$$|f(x)| = a \Leftrightarrow f(x) = a \text{ ή } f(x) = -a$$

Τύπος 3: $|f(x)| = |g(x)|$

$$|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow f(x) = g(x) \text{ ή } f(x) = -g(x)$$

Ανισώσεις με Απόλυτη Τιμή

Τύπος 1: $|x| < a$ (με $a > 0$)

$$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$$

Τύπος 2: $|x| > a$ (με $a > 0$)

$$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ ή } x > a$$

Τύπος 3: $|x| \leq a$ (με $a > 0$)

$$|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$$

Τύπος 4: $|x| \geq a$ (με $a > 0$)

$$|x| \geq a \Leftrightarrow x \leq -a \text{ ή } x \geq a$$

Γενικευμένες Συναρτήσεις Απόλυτης Τιμής

Μορφή $f(x) = |x - a|$

Η γραφική παράσταση είναι "V" με κορυφή στο $(a, 0)$.

Τμηματικός ορισμός:

$$|x - a| = \begin{cases} x - a, & \text{αν } x \geq a \\ -(x - a), & \text{αν } x < a \end{cases}$$

Μορφή $f(x) = |x - a| + b$

Η γραφική παράσταση είναι "V" με κορυφή στο $(a, b)$.

Μορφή $f(x) = c|x - a| + b$

• Κορυφή: $(a, b)$
• Αν $c > 0$: "V" με κέρατα προς τα πάνω
• Αν $c < 0$: "V" ανεστραμμένο (κέρατα προς τα κάτω)
• Το $|c|$ επηρεάζει το "άνοιγμα" του V

Μονοτονία και Ακρότατα

Για τη συνάρτηση $f(x) = |x|$:

• Γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, 0]$
• Γνησίως αύξουσα στο $[0, +\infty)$
• Ελάχιστη τιμή: $f(0) = 0$ στο $x = 0$
• Μέγιστη τιμή: Δεν υπάρχει (η $f$ τείνει στο $+\infty$)

Συνέχεια και Παραγωγισιμότητα

Η συνάρτηση $f(x) = |x|$:

• Είναι συνεχής σε όλο το $\mathbb{R}$
• Δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x = 0$ (γωνιακό σημείο)
• Για $x \neq 0$: $f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$