Παραμετρικές Εξισώσεις

Εισαγωγή στις Παραμετρικές Εξισώσεις

Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν, εκτός από την άγνωστη μεταβλητή, και μια ή περισσότερες παραμέτρους. Ο στόχος είναι να βρούμε τις λύσεις ως προς την άγνωστη για κάθε τιμή της παραμέτρου.

Γενική Μορφή

Μια παραμετρική εξίσωση έχει τη μορφή:

$f(x, \lambda) = 0$

όπου $x$ είναι η άγνωστη και $\lambda$ (ή $a$ , $k$ , $m$ κ.λπ.) είναι η παράμετρος.

Τύποι Ερωτήσεων

1. Εύρεση λύσεων για κάθε τιμή της παραμέτρου

Χωρίζουμε σε περιπτώσεις ανάλογα με τις τιμές της παραμέτρου που δίνουν διαφορετικό τύπο εξίσωσης.

2. Εύρεση τιμών παραμέτρου για συγκεκριμένες ιδιότητες

Να έχει μοναδική λύση
Να έχει δύο διακεκριμένες λύσεις
Να μην έχει λύση
Οι λύσεις να ικανοποιούν κάποια συνθήκη

Παραμετρική Δευτεροβάθμια Εξίσωση

Η εξίσωση $ax^2 + bx + c = 0$ με $a = a(\lambda)$ , $b = b(\lambda)$ , $c = c(\lambda)$ .

Ανάλυση Περιπτώσεων

Περίπτωση 1: Αν $a(\lambda) = 0$

Η εξίσωση γίνεται πρωτοβάθμια: $bx + c = 0$

Περίπτωση 2: Αν $a(\lambda) \ne 0$

Χρησιμοποιούμε τη διακρίνουσα $\Delta = b^2 - 4ac$ :

$\Delta > 0$ : δύο διακεκριμένες πραγματικές λύσεις
$\Delta = 0$ : μία διπλή λύση
$\Delta < 0$ : καμία πραγματική λύση

Σχέσεις Vieta σε Παραμετρικές Εξισώσεις

Για την εξίσωση $ax^2 + bx + c = 0$ με ρίζες $x_1, x_2$ :

$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Χρήσιμες σχέσεις:

$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$
$(x_1 - x_2)^2 = S^2 - 4P = \frac{\Delta}{a^2}$
$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

Συνθήκες για τις Ρίζες

Και οι δύο ρίζες θετικές

$\Delta \ge 0, \quad S > 0, \quad P > 0$

Και οι δύο ρίζες αρνητικές

$\Delta \ge 0, \quad S < 0, \quad P > 0$

Ρίζες ετερόσημες

$P < 0$

Και οι δύο ρίζες μεγαλύτερες από $k$

$\Delta \ge 0, \quad S > 2k, \quad f(k) > 0 \text{ (αν } a > 0\text{)}$

Μία ρίζα μεγαλύτερη και μία μικρότερη από $k$

$a \cdot f(k) < 0$