Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Εισαγωγή στις Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Οι πολυωνυμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής $P(x) = 0$, όπου $P(x)$ είναι ένα πολυώνυμο. Ο βαθμός του πολυωνύμου καθορίζει τον τύπο της εξίσωσης και τον μέγιστο αριθμό λύσεων.

Γενική Μορφή

Ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ έχει τη μορφή:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

όπου $a_n \ne 0$ και $n \in \mathbb{N}$.

Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας

Κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού $n \ge 1$ έχει ακριβώς $n$ ρίζες στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών (μετρώντας πολλαπλότητες).

Τριτοβάθμιες Εξισώσεις (Κυβικές)

Η γενική μορφή είναι:

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0$$

Μέθοδοι Επίλυσης

1. Εύρεση ρητής ρίζας: Αν το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές, οι πιθανές ρητές ρίζες είναι της μορφής $\frac{p}{q}$, όπου $p$ διαιρεί το $d$ και $q$ διαιρεί το $a$.

2. Θεώρημα Παραγόντων: Αν $r$ είναι ρίζα του $P(x)$, τότε το $(x-r)$ είναι παράγοντας του $P(x)$.

3. Διαίρεση πολυωνύμων: Μετά την εύρεση μιας ρίζας $r$, διαιρούμε:

$$P(x) = (x-r) \cdot Q(x)$$

όπου $Q(x)$ είναι δευτεροβάθμιο πολυώνυμο.

Τεταρτοβάθμιες Εξισώσεις

Η γενική μορφή είναι:

$$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a \ne 0$$

Ειδικές Μορφές

1. Δικτετράγωνη εξίσωση: $ax^4 + bx^2 + c = 0$

Θέτουμε $y = x^2$ και λύνουμε τη δευτεροβάθμια $ay^2 + by + c = 0$.

2. Αντιστρεπτή εξίσωση: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$

Διαιρούμε με $x^2$ και θέτουμε $y = x + \frac{1}{x}$.

Σχέσεις Ριζών-Συντελεστών (Vieta)

Για την εξίσωση $ax^2 + bx + c = 0$ με ρίζες $r_1, r_2$:

• $r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}$
• $r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}$

Για την εξίσωση $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ με ρίζες $r_1, r_2, r_3$:

• $r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}$
• $r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a}$
• $r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = -\frac{d}{a}$

Θεώρημα του Υπολοίπου

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x)$ με το $(x-a)$ ισούται με $P(a)$.

Σχήμα Horner

Μέθοδος για γρήγορο υπολογισμό της τιμής πολυωνύμου και συντελεστών του πηλίκου:

Για $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ και διαίρεση με $(x-r)$:

Πολλαπλότητα Ριζών

• Αν $(x-r)^k$ διαιρεί το $P(x)$ αλλά $(x-r)^{k+1}$ δεν το διαιρεί, τότε η $r$ είναι ρίζα πολλαπλότητας $k$.
• Μια ρίζα πολλαπλότητας $k \ge 2$ λέγεται πολλαπλή.
• Μια ρίζα πολλαπλότητας 1 λέγεται απλή.

Κριτήριο Πολλαπλής Ρίζας

Η $r$ είναι πολλαπλή ρίζα του $P(x)$ αν και μόνο αν:

$$P(r) = 0 \quad \text{και} \quad P'(r) = 0$$