Τύποι Μισής Γωνίας

Προχωρημένο

Εισαγωγή στους Τύπους Μισής Γωνίας

Οι τύποι μισής γωνίας προκύπτουν από τους τύπους διπλάσιας γωνίας και επιτρέπουν τον υπολογισμό τριγωνομετρικών τιμών γωνιών που είναι το μισό μιας γνωστής γωνίας. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στην επίλυση εξισώσεων και στον ολοκληρωτικό λογισμό.

Βασικοί Τύποι Μισής Γωνίας

Ημίτονο Μισής Γωνίας

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

Απόδειξη: Από τον τύπο $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ θέτουμε $\alpha = \frac{\theta}{2}$ :

$\cos\theta = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}$

$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

Συνημίτονο Μισής Γωνίας

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

Απόδειξη: Από τον τύπο $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ θέτουμε $\alpha = \frac{\theta}{2}$ :

$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$

$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

Εφαπτομένη Μισής Γωνίας

Υπάρχουν πολλές ισοδύναμες μορφές:

$\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

Προσδιορισμός Πρόσημου

Το πρόσημο στους τύπους εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία $\frac{\theta}{2}$ :

Αν $\frac{\theta}{2}$ στο	$\sin\frac{\theta}{2}$	$\cos\frac{\theta}{2}$
1ο τεταρτημόριο	+	+
2ο τεταρτημόριο	+	-
3ο τεταρτημόριο	-	-
4ο τεταρτημόριο	-	+

Η Αντικατάσταση Weierstrass

Θέτοντας $t = \tan\frac{\theta}{2}$ , μπορούμε να εκφράσουμε όλες τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως ρητές συναρτήσεις του $t$ :

$\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}$

$\cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$\tan\theta = \frac{2t}{1 - t^2}$

Απόδειξη για $\sin\theta$ :

$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

Διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με $\cos^2\frac{\theta}{2}$ :

$= \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{\sec^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2t}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2t}{1 + t^2}$

Εφαρμογές στην Ολοκλήρωση

Η αντικατάσταση Weierstrass είναι πολύ χρήσιμη για ολοκληρώματα της μορφής:

$\int R(\sin x, \cos x)\, dx$

όπου $R$ είναι ρητή συνάρτηση. Θέτοντας $t = \tan\frac{x}{2}$ :

$dx = \frac{2}{1 + t^2}\, dt$

και το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης του $t$ .

Ειδικές Τιμές

Χρησιμοποιώντας τους τύπους μισής γωνίας μπορούμε να υπολογίσουμε:

$\sin 15° = \sin\frac{30°}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30°}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 15° = \sqrt{\frac{1 + \cos 30°}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Σχέση με Τύπους Διπλάσιας Γωνίας

Οι τύποι μισής γωνίας και διπλάσιας γωνίας είναι αντίστροφοι:

Διπλάσια: $\theta \to 2\theta$
Μισή: $\theta \to \frac{\theta}{2}$

Αν γνωρίζουμε τις τριγωνομετρικές τιμές μιας γωνίας, μπορούμε να υπολογίσουμε αυτές της διπλάσιας ή της μισής.

Βασικοί Τύποι

\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}

\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}

\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}

\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}

όπου

t = \tan\frac{\theta}{2}

\cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

όπου

t = \tan\frac{\theta}{2}

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Υπολογισμός τριγωνομετρικών τιμών

Να υπολογιστούν τα $\sin 22.5°$ και $\cos 22.5°$ χρησιμοποιώντας τους τύπους μισής γωνίας.

Παρατηρούμε ότι $22.5° = \frac{45°}{2}$ . Γνωρίζουμε ότι $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Για το $\cos 22.5°$ (θετικό γιατί η γωνία είναι στο 1ο τεταρτημόριο):

$\cos 22.5° = \sqrt{\frac{1 + \cos 45°}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Για το $\sin 22.5°$ (θετικό γιατί η γωνία είναι στο 1ο τεταρτημόριο):

$\sin 22.5° = \sqrt{\frac{1 - \cos 45°}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Παράδειγμα 2

Εφαπτομένη μισής γωνίας

Αν $\cos\theta = \frac{4}{5}$ και $270° < \theta < 360°$ , να βρεθεί το $\tan\frac{\theta}{2}$ .

Επειδή $270° < \theta < 360°$ , έχουμε $135° < \frac{\theta}{2} < 180°$ .

Άρα $\frac{\theta}{2}$ είναι στο 2ο τεταρτημόριο, όπου $\sin > 0$ και $\cos < 0$ .

Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

Πρώτα βρίσκουμε το $\sin\theta$ . Επειδή $\theta$ στο 4ο τεταρτημόριο:

$\sin\theta = -\sqrt{1 - \cos^2\theta} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\frac{3}{5}$

Άρα:

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{1}{3}$

Παράδειγμα 3

Απόδειξη εναλλακτικού τύπου

Να αποδειχθεί ότι $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ .

Χρησιμοποιούμε τους τύπους:

$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$

Άρα:

$1 + \cos\theta = 1 + 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$

Και:

$\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}}$

$= \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}} = \tan\frac{\theta}{2}$

Η ταυτότητα αποδείχθηκε.

Παράδειγμα 4

Αντικατάσταση Weierstrass

Να εκφραστεί το $\sin x$ και το $\cos x$ συναρτήσει του $t = \tan\frac{x}{2}$ και να επαληθευτεί η ταυτότητα $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .

Από την αντικατάσταση Weierstrass:

$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

Επαλήθευση:

$\sin^2 x + \cos^2 x = \left(\frac{2t}{1 + t^2}\right)^2 + \left(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\right)^2$

$= \frac{4t^2}{(1 + t^2)^2} + \frac{(1 - t^2)^2}{(1 + t^2)^2}$

$= \frac{4t^2 + (1 - t^2)^2}{(1 + t^2)^2}$

$= \frac{4t^2 + 1 - 2t^2 + t^4}{(1 + t^2)^2}$

$= \frac{t^4 + 2t^2 + 1}{(1 + t^2)^2} = \frac{(1 + t^2)^2}{(1 + t^2)^2} = 1$

Η ταυτότητα επαληθεύτηκε.

Παράδειγμα 5

Επίλυση εξίσωσης με αντικατάσταση

Να λυθεί η εξίσωση $3\sin x - 4\cos x = 5$ χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση $t = \tan\frac{x}{2}$ .

Θέτουμε $t = \tan\frac{x}{2}$ :

$3 \cdot \frac{2t}{1 + t^2} - 4 \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = 5$

Πολλαπλασιάζουμε με $(1 + t^2)$ :

$6t - 4(1 - t^2) = 5(1 + t^2)$

$6t - 4 + 4t^2 = 5 + 5t^2$

$t^2 - 6t + 9 = 0$

$(t - 3)^2 = 0$

$t = 3$

Άρα $\tan\frac{x}{2} = 3$ :

$\frac{x}{2} = \arctan 3 + k\pi$

$x = 2\arctan 3 + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Δηλαδή $x \approx 143.13° + k \cdot 360°$

Σχετικά Θέματα

double-angle trigonometric-identities trigonometric-equations

Τύποι Μισής Γωνίας

Προχωρημένο

Εισαγωγή στους Τύπους Μισής Γωνίας

Βασικοί Τύποι Μισής Γωνίας

Ημίτονο Μισής Γωνίας

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

Απόδειξη: Από τον τύπο $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ θέτουμε $\alpha = \frac{\theta}{2}$ :

$\cos\theta = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}$

$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

Συνημίτονο Μισής Γωνίας

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

Απόδειξη: Από τον τύπο $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ θέτουμε $\alpha = \frac{\theta}{2}$ :

$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$

$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

Εφαπτομένη Μισής Γωνίας

Υπάρχουν πολλές ισοδύναμες μορφές:

$\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

Προσδιορισμός Πρόσημου

Το πρόσημο στους τύπους εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία $\frac{\theta}{2}$ :

Αν $\frac{\theta}{2}$ στο	$\sin\frac{\theta}{2}$	$\cos\frac{\theta}{2}$
1ο τεταρτημόριο	+	+
2ο τεταρτημόριο	+	-
3ο τεταρτημόριο	-	-
4ο τεταρτημόριο	-	+

Η Αντικατάσταση Weierstrass

$\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}$

$\cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$\tan\theta = \frac{2t}{1 - t^2}$

Απόδειξη για $\sin\theta$ :

$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

Διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με $\cos^2\frac{\theta}{2}$ :

$= \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{\sec^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2t}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2t}{1 + t^2}$

Εφαρμογές στην Ολοκλήρωση

Η αντικατάσταση Weierstrass είναι πολύ χρήσιμη για ολοκληρώματα της μορφής:

$\int R(\sin x, \cos x)\, dx$

όπου $R$ είναι ρητή συνάρτηση. Θέτοντας $t = \tan\frac{x}{2}$ :

$dx = \frac{2}{1 + t^2}\, dt$

και το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης του $t$ .

Ειδικές Τιμές

Χρησιμοποιώντας τους τύπους μισής γωνίας μπορούμε να υπολογίσουμε:

$\sin 15° = \sin\frac{30°}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30°}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 15° = \sqrt{\frac{1 + \cos 30°}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Σχέση με Τύπους Διπλάσιας Γωνίας

Οι τύποι μισής γωνίας και διπλάσιας γωνίας είναι αντίστροφοι:

Διπλάσια: $\theta \to 2\theta$
Μισή: $\theta \to \frac{\theta}{2}$

Βασικοί Τύποι

\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}

\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}

\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}

\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}

όπου

t = \tan\frac{\theta}{2}

\cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

όπου

t = \tan\frac{\theta}{2}