Εισαγωγή στη Σειρά Maclaurin Η σειρά Maclaurin είναι μια ειδική περίπτωση της σειράς Taylor, όπου η ανάπτυξη γίνεται γύρω από το σημείο a = 0 a = 0 a = 0
Ορισμός της Σειράς Maclaurin Η σειρά Maclaurin μιας συνάρτησης f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( 0 ) x n
Ή αναλυτικά:
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ′ ′ ′ ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 2 ! f ′′ ( 0 ) x 2 + 3 ! f ′′′ ( 0 ) x 3 + ⋯
Βασικές Αναπτύξεις Maclaurin Εκθετική Συνάρτηση e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} e x = 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + 4 ! x 4 + ⋯ = n = 0 ∑ ∞ n ! x n
Ακτίνα σύγκλισης: R = ∞ R = \infty R = ∞ x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R
Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ημίτονο:
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} sin x = x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + ⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1
Συνημίτονο:
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} cos x = 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 + ⋯ = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n
Εφαπτομένη:
tan x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ , ∣ x ∣ < π 2 \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots, \quad |x| < \frac{\pi}{2} tan x = x + 3 x 3 + 15 2 x 5 + ⋯ , ∣ x ∣ < 2 π
Λογαριθμικές Συναρτήσεις ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} ln ( 1 + x ) = x − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 + ⋯ = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n + 1 x n
Ακτίνα σύγκλισης: − 1 < x ≤ 1 -1 < x \leq 1 − 1 < x ≤ 1
Διωνυμικές Αναπτύξεις ( 1 + x ) a = 1 + a x + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots ( 1 + x ) a = 1 + a x + 2 ! a ( a − 1 ) x 2 + 3 ! a ( a − 1 ) ( a − 2 ) x 3 + ⋯
για ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣ x ∣ < 1 a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R
Ειδικές περιπτώσεις:
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1 1 − x 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1
1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots, \quad |x| < 1 1 + x 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1
1 + x = 1 + x 2 − x 2 8 + x 3 16 − ⋯ , ∣ x ∣ < 1 \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots, \quad |x| < 1 1 + x = 1 + 2 x − 8 x 2 + 16 x 3 − ⋯ , ∣ x ∣ < 1
Αντίστροφες Τριγωνομετρικές arctan x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1 \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots, \quad |x| \leq 1 arctan x = x − 3 x 3 + 5 x 5 − 7 x 7 + ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1
arcsin x = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1 \arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots, \quad |x| \leq 1 arcsin x = x + 6 x 3 + 40 3 x 5 + ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1
Σύγκλιση και Απόκλιση Για να ελέγξουμε αν μια σειρά Maclaurin συγκλίνει:
Κριτήριο του Λόγου:
lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ < 1 ⇒ σ υ ˊ γκλιση \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \Rightarrow \text{σύγκλιση} n → ∞ lim a n a n + 1 < 1 ⇒ σ υ ˊ γκλιση Κριτήριο της Ρίζας:
lim n → ∞ ∣ a n ∣ n < 1 ⇒ σ υ ˊ γκλιση \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \Rightarrow \text{σύγκλιση} n → ∞ lim n ∣ a n ∣ < 1 ⇒ σ υ ˊ γκλιση Πράξεις με Σειρές Maclaurin Πρόσθεση/Αφαίρεση: Προσθέτουμε/αφαιρούμε τους αντίστοιχους συντελεστές.
Πολλαπλασιασμός: Πολλαπλασιάζουμε όρο προς όρο.
Παραγώγιση: Παραγωγίζουμε όρο προς όρο.
Ολοκλήρωση: Ολοκληρώνουμε όρο προς όρο.
Υπολογισμός Ορίων με Maclaurin Η μέθοδος είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για όρια της μορφής 0 0 \frac{0}{0} 0 0
Αναπτύσσουμε αριθμητή και παρονομαστή σε σειρές Maclaurin. Απλοποιούμε και υπολογίζουμε το όριο. 