Γενικευμένα Ολοκληρώματα

Εισαγωγή στα Γενικευμένα Ολοκληρώματα

Τα γενικευμένα (ή μη γνήσια) ολοκληρώματα επεκτείνουν την έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος σε περιπτώσεις όπου:

• Τα όρια ολοκλήρωσης είναι άπειρα, ή
• Η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει ασυνέχεια στο διάστημα ολοκλήρωσης.

Γενικευμένα Ολοκληρώματα Πρώτου Είδους

Άπειρο Άνω Όριο

$$\int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$$

Αν το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο, το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Αν το όριο δεν υπάρχει ή είναι άπειρο, το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Άπειρο Κάτω Όριο

$$\int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \, dx$$

Και τα Δύο Όρια Άπειρα

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^c f(x) \, dx + \int_c^{\infty} f(x) \, dx$$

για οποιοδήποτε $c \in \mathbb{R}$. Και τα δύο ολοκληρώματα πρέπει να συγκλίνουν.

Γενικευμένα Ολοκληρώματα Δεύτερου Είδους

Όταν η $f$ έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη (ασυνέχεια) σε κάποιο σημείο:

Ασυνέχεια στο $a$

$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) \, dx$$

Ασυνέχεια στο $b$

$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b-\epsilon} f(x) \, dx$$

Ασυνέχεια σε Εσωτερικό Σημείο $c \in (a,b)$

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$

Και τα δύο ολοκληρώματα πρέπει να συγκλίνουν.

Κριτήρια Σύγκλισης

Κριτήριο Σύγκρισης

Αν $0 \leq f(x) \leq g(x)$ για $x \geq a$:

• Αν $\int_a^{\infty} g(x) \, dx$ συγκλίνει, τότε και $\int_a^{\infty} f(x) \, dx$ συγκλίνει.
• Αν $\int_a^{\infty} f(x) \, dx$ αποκλίνει, τότε και $\int_a^{\infty} g(x) \, dx$ αποκλίνει.

Κριτήριο Σύγκρισης με Όριο

Αν $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ όπου $0 < L < \infty$:

Τα $\int_a^{\infty} f(x) \, dx$ και $\int_a^{\infty} g(x) \, dx$ συγκλίνουν ή αποκλίνουν μαζί.

Κριτήριο p-Ολοκληρώματος

$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx \begin{cases} \text{συγκλίνει,} & p > 1 \\ \text{αποκλίνει,} & p \leq 1 \end{cases}$$

$$\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx \begin{cases} \text{συγκλίνει,} & p < 1 \\ \text{αποκλίνει,} & p \geq 1 \end{cases}$$

Βασικά Αποτελέσματα

$$\int_0^{\infty} e^{-x} \, dx = 1$$

$$\int_0^{\infty} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}, \quad a > 0$$

$$\int_0^{\infty} x^n e^{-x} \, dx = n! \quad (\text{Συνάρτηση Γάμμα})$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \quad (\text{Ολοκλήρωμα Gauss})$$

Απόλυτη Σύγκλιση

Το $\int_a^{\infty} f(x) \, dx$ συγκλίνει απόλυτα αν $\int_a^{\infty} |f(x)| \, dx$ συγκλίνει.

Θεώρημα: Αν ένα ολοκλήρωμα συγκλίνει απόλυτα, τότε συγκλίνει (το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα).