Τριγωνικη Ανισοτητα

Η Τριγωνικη Ανισοτητα

Η τριγωνικη ανισοτητα ειναι μια απο τις θεμελιωδεστερες ανισοτητες στα Μαθηματικα. Το ονομα της προερχεται απο τη γεωμετρια, οπου εκφραζει οτι το μηκος καθε πλευρας ενος τριγωνου ειναι μικροτερο απο το αθροισμα των μηκων των αλλων δυο πλευρων.

Διατυπωση

Τριγωνικη Ανισοτητα: Για ολους τους πραγματικους αριθμους $x$ και $y$ ισχυει:

$$|x + y| \leq |x| + |y|$$

Ισοτητα: Η ισοτητα ισχυει αν και μονο αν $x$ και $y$ εχουν το ιδιο προσημο (η εστω ενα απο αυτα ειναι μηδεν), δηλαδη οταν $xy \geq 0$.

Αποδειξη

Μεθοδος 1 - Αλγεβρικη:

Ξεκιναμε απο τη σχεση $-|a| \leq a \leq |a|$.

Για $a = x$: $-|x| \leq x \leq |x|$

Για $a = y$: $-|y| \leq y \leq |y|$

Προσθετοντας κατα μελη:

$$-(|x| + |y|) \leq x + y \leq |x| + |y|$$

Αρα: $|x + y| \leq |x| + |y|$

Μεθοδος 2 - Με τετραγωνα:

$|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = x^2 + 2|xy| + y^2$

Επειδη $xy \leq |xy|$, εχουμε:

$|x + y|^2 \leq (|x| + |y|)^2$

Αφου και τα δυο μελη ειναι μη-αρνητικα:

$|x + y| \leq |x| + |y|$

Αντιστροφη Τριγωνικη Ανισοτητα

Διατυπωση: Για ολους τους πραγματικους αριθμους $x$ και $y$:

$$||x| - |y|| \leq |x - y|$$

Αποδειξη:

Απο την τριγωνικη ανισοτητα:

$|x| = |(x - y) + y| \leq |x - y| + |y|$

Αρα: $|x| - |y| \leq |x - y|$

Ομοιως: $|y| - |x| \leq |y - x| = |x - y|$

Αρα: $||x| - |y|| \leq |x - y|$

Γενικευσεις

Για πολλους αριθμους:

$$|x_1 + x_2 + \cdots + x_n| \leq |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n|$$

Η αποδειξη γινεται με επαγωγη.

Τριγωνικη ανισοτητα για τη διαφορα:

$$|x - y| \leq |x| + |y|$$

Αυτη προκυπτει αμεσα θετοντας $-y$ αντι για $y$ στην αρχικη τριγωνικη ανισοτητα.

Γεωμετρικη Ερμηνεια

Στην αριθμητικη ευθεια:

Η αποσταση απο το $0$ μεχρι το $x + y$ ειναι το πολυ ιση με το αθροισμα των αποστασεων απο το $0$ μεχρι το $x$ και απο το $0$ μεχρι το $y$.

Στη γεωμετρια:

Σε ενα τριγωνο με κορυφες $A$, $B$, $C$, η πλευρα $|AC|$ ικανοποιει:

$$|AC| \leq |AB| + |BC|$$

"Η ευθεια ειναι η συντομοτερη αποσταση μεταξυ δυο σημειων."

Εφαρμογες

1. Ορια και εκτιμησεις:

Η τριγωνικη ανισοτητα χρησιμοποιειται για να φραξουμε απολυτες τιμες αθροισματων.

2. Αποστασεις:

Στη μετρικη γεωμετρια, η τριγωνικη ανισοτητα ειναι ενα απο τα αξιωματα που οριζουν την εννοια της αποστασης.

3. Αναλυση:

Ειναι θεμελιωδης για αποδειξεις συγκλισης ακολουθιων και σειρων.