Ιδιοτητες Απολυτης Τιμης

Βασικες Ιδιοτητες της Απολυτης Τιμης

Η απολυτη τιμη εχει πολλες σημαντικες ιδιοτητες που την καθιστουν ενα πολυτιμο εργαλειο στα Μαθηματικα. Οι ιδιοτητες αυτες χρησιμοποιουνται ευρεως στην επιλυση εξισωσεων και ανισωσεων.

Θεμελιωδεις Ιδιοτητες

Ιδιοτητα 1 - Μη-αρνητικοτητα:

$$|x| \geq 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Η απολυτη τιμη ειναι παντα μη-αρνητικη.

Ιδιοτητα 2 - Μηδενισμος:

$$|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$

Ιδιοτητα 3 - Συμμετρια:

$$|-x| = |x|, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Ιδιοτητες Πραξεων

Ιδιοτητα Γινομενου:

$$|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$$

Η απολυτη τιμη γινομενου ισουται με το γινομενο των απολυτων τιμων.

Ιδιοτητα Πηλικου:

$$\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}, \quad y \neq 0$$

Ιδιοτητα Δυναμης:

$$|x^n| = |x|^n, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

Ανισοτητες με Απολυτη Τιμη

Βασικη Ανισοτητα 1:

$$-|x| \leq x \leq |x|$$

Βασικη Ανισοτητα 2: Για $a > 0$:

$$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$$

$$|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$$

$$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ η } x > a$$

$$|x| \geq a \Leftrightarrow x \leq -a \text{ η } x \geq a$$

Τριγωνικη Ανισοτητα

Μια απο τις σημαντικοτερες ιδιοτητες ειναι η τριγωνικη ανισοτητα:

$$|x + y| \leq |x| + |y|$$

Η ισοτητα ισχυει οταν $x$ και $y$ εχουν το ιδιο προσημο (η ενα απο αυτα ειναι μηδεν).

Αντιστροφη Τριγωνικη Ανισοτητα:

$$||x| - |y|| \leq |x - y|$$

Ιδιοτητα Τετραγωνου

$$|x|^2 = x^2$$

Αυτη η ιδιοτητα ειναι χρησιμη γιατι μας επιτρεπει να "αφαιρουμε" την απολυτη τιμη οταν υψωνουμε στο τετραγωνο.

Σχεση με Ριζα

$$\sqrt{x^2} = |x|$$

Αυτη η σχεση ειναι θεμελιωδης και χρησιμοποιειται συχνα σε υπολογισμους.

Ιδιοτητες με Αποσταση

Η αποσταση δυο αριθμων $a$ και $b$ στην αριθμητικη ευθεια δινεται απο:

$$d(a, b) = |a - b| = |b - a|$$

Ιδιοτητες Αποστασης:

1. $d(a, b) \geq 0$ (μη-αρνητικοτητα)
2. $d(a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b$
3. $d(a, b) = d(b, a)$ (συμμετρια)
4. $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$ (τριγωνικη ανισοτητα)